完整word版,2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1)设y?e(C1sinx?C2cosx)(C1,C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)设rx?x2?y2?z2,则div(gradr)

(1,?2,2)=_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:(4)设矩阵A满足A(5)设随机变量

2?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.

?A?4E?0,其中E为单位矩阵,则(A?E)?1=_____________.

X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计

yP{X?E(X)?2}?

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数则yf(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示, O x?f?(x)的图形为

(2)设

f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1,则

(A) dz|(0,0)?3dx?dy. (B) 曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}.

(C) 曲线??z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}.

?y?0?z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.

y?0?(D) 曲线? (3)设

f(0)?0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为

1f(1?cosh)存在.

h?0h21(C) lim2f(h?sinh)存在.

h?0h(A) lim

1f(1?eh)存在. h?0h1(D) lim[f(2h)?f(h)]存在.

h?0h(B)

lim?1?1(4)设A???1??1111??4?0111??,B???0111???111??0

000?000??,则A与B 000??000?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.

(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于

(A)-1.

三、(本题满分6分)

(B) 0.

(C)

1. 2 (D) 1.

arctanexdx. 求?e2x

四、(本题满分6分) 设函数z?f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)?1,

.

?f?f|(1,1)?2,|(1,1)?3,?(x)?f(x,

?y?xf(x,x)).求

d3?(x)dxx?1五、(本题满分8分)

??1?xxarctanx,x?0,(?1)n设f(x)=?将f(x)展开成x的幂级数,并求级数?的和. 2x?0,1,n?11?4n?2

六、(本题满分7分) 计算I面

??(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面x?y?z?2与柱

Lx?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.

七、(本题满分7分) 设

f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0,试证:

f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立;

(1)对于(?1,1)内的任一x?0,存在惟一的?(x)?(0,1),使(2)lim?(x)?x?01. 2

八、(本题满分8分)

2(x2?y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?(设

h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?

九、(本题满分6分)

设?1,?2,?,?s为线性方程组Ax?0的一个基础解系,?1?t1?1?t2?2,?2?t1?2?t2?3,,

?s?t1?s?t2?1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么条件时,?1,?2,?,?s也为Ax?0的一个

基础解系.

十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵

A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.

2(1)记P=（x,Ax,Ax）,求3阶矩阵B,使A?(2)计算行列式

十一、(本题满分7分)

PBP?1;

A?E.