（1）方程f(x)?0在区间?0,1?至少存在一个实根；
（2）方程f(x)f??(x)?(f?(x))2?0在区间?0,1?内至少存在两个不同实根． 证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件lim?x?0f(x)?0可知，存在0???1，及x1?(0,?)，使得xf(x1)?0，由于f(x)在?x1,1?上连续，且f(x1)?f(1)?0，由零点定理，存在??(x1,1)?(0,1)，使得
f(?)?0，也就是方程f(x)?0在区间?0,1?至少存在一个实根；
（2）由条件lim?x?0f(x)?0可知f(0)?0，由（1）可知f(?)?0，由洛尔定理，存在??(0,?)，使得xf?(?)?0；
设F(x)?f(x)f?(x)，由条件可知F(x)在区间?0,1?上可导，且F(0)?0,F(?)?0,F(?)?0，分别在区间?0,??,??,??上对函数F(x)使用尔定理，则存在
?1?(0,?)?(0,1),?2?(?,?)?(0,1),使得
?1??2,F?(?1)?F??(2?)，也就是方程0f(x)f??(x)?(f?(x))2?0在区间?0,1?内至少存在两个不同实
根．
20．（本题满分11分）
22已知平面区域D?(x,y)|x?y?2y，计算二重积分
??2(x?1)d? ??D【详解】由于积分区域关于y轴左右对称，所以由二重积分对称性可知
22(x?1)d??(x?????1)d???d??DD0??2xd??0．所以
D?2sin?0(r2cos2??1)rdr???0?24?422sin?cos??2sin???d??4?
??(4sin4??4sin6??2sin2?)d?0?5??4其中利用瓦列斯公式，知
??01??3?13??65?3?15?sin2?d?????,?sin4?d?????,?sin?d?????
00224?286?4?21621．（本题满分11分）
1)?0．点P是曲线L:y?y(x)上的任意一点，L在点P处的设y(x)是区间?0,?上的可导函数，且y(切线与y轴相交于点?0,YP?，法线与X轴相交于点?XP,0?．若XP?Yp，求L上的点的坐标(x,y)满足的方程．
6
??3?2?【详解】曲线过点P(x,y)的切线方程为Y?y(x)?y?(x)(X?x)，令X?0，得Yp?y(x)?xy?(x)； 曲线过点P(x,y)的法线方程为Y?y(x)??1(X?x)，令Y?0，得Xp?x?yy?(x)． ?y(x)由条件XP?Yp，可得微分方程y?xy??x?yy?
y?1dy?x?yx标准形为y??，是个一阶齐次型微分方程． ??ydxx?y?1xyduu?1du1?u2???设?u，方程化为u?x，整理，得x
xdxu?1dx1?u分离变量，两边积分，得arctanu?1lnu??lnx?lnC 2由初始条件y(1)?0，得x?1,y?0,u?0，确定常数C?1 所以曲线的方程为arctan 22．（本题满分11分）
设三阶矩阵A???1,?2,?3?有三个不同的特征值，且?3??1?2?2. （1）证明：r(A)?2；
（2）若???1??2,?3，求方程组Ax??的通解．
【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是r(A)?1．
假若r(A)?1时，则r?0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)?2，又因为
y1y?ln??lnx． x2x?3??1?2?2?0，也就是?1,?2,?3线性相关，r(A)?3，也就只有r(A)?2．
（2）因为r(A)?2，所以Ax?0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于?3??1?2?2?0，所
?1???以基础解系为x??2?；
??1????1???又由???1??2,?3，得非齐次方程组Ax??的特解可取为?1?；
?1??? 7
?1??1?????方程组Ax??的通解为x?k?2???1?，其中k为任意常数．
??1??1?????23．（本题满分11分） 设二次型f(x)1,x2,x3?22x1?2x?22正3ax?21x?x81x?x2在2xx交变换x?Qy下的标准形为3232，求a的值及一个正交矩阵Q． ?1y12??2y2?21?4???【详解】二次型矩阵A??1?11?
??41a???22因为二次型的标准形为?1y1．也就说明矩阵A有零特征值，所以A?0，故a?2. ??2y2??1?E?A?14令
?141??(??3)(??6)
??2??1?1?E?A?0得矩阵的特征值为?1??3,?2?6,?3?0．
?1?1???1?，属于特征值特通过分别解方程组(?iE?A)x?0得矩阵的属于特征值?1??3的特征向量?1??3???1???1??1?1??1??0??2?． 征值?2?6的特征向量?2?，的特征向量??033???6??2??1?1????1??3?1所以Q???1,?2,?3????3??1??3?120121??6?2??为所求正交矩阵． 6?1??6? 8
2017年考研数学二真题与解析
