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2017年考研数学二真题与解析

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2017年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.

?1?cosx,x?0?1.若函数f(x)??在x?0处连续,则 ax?b,x?0?11 (B)ab?? (C)ab?0 (D)ab?2 221x1?cosx12f(x)?b?f(0),要使函数在x?0处连续,【详解】lim,limf(x)?lim?lim???x?0x?0?x?0?x?0axax2a11?b?ab?.所以应该选(A) 必须满足2a2(A)ab?2.设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1,且f??(x)?0,则( ) (A)(C)

??1?10f(x)dx?0 (B)?f(x)dx?0

?11?1f(x)dx??f(x)dx (D)?f(x)dx??f(x)dx

0?10101【详解】注意到条件f??(x)?0,则知道曲线f(x)在??1,0?,?0,1?上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当x???1,0?时,f(x)??2x?1,当x??0,1?时,f(x)?2x?1,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以

?1?1. f(x)dx??(?2x?1)dx??(2x?1)dx?0.所以选择(B)

?1001当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数f(x)?2x2?1,此时

111f(x)dx??,f(x)dx??,可判断出选项(A),(C),(D)都是错误的,当然选择(B).希望同??1?0330学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧. 3.设数列?xn?收敛,则

(A)当limsinxn?0时,limxn?0 (B)当lim(xn?n??n??n??xn)?0时,limxn?0

n??n??2(C)当lim(xn?xn)?0时,limxn?0 (D)当lim(xn?sinxn)?0时,limxn?0

n??n??n??【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有(D)是正确的. 其实此题注意,设limxn?A,则

n??limsinxn?sinA,lim(xn?n??n??xn)?A?2A,lim(xn?xn)?A?A2,lim(xn?sinxn)?A?sinA n??n??分别解方程sinA?0,A?

A?0,A?A2?0,A?sinA?0时,发现只有第四个方程A?sinA?0有唯

1

一解A?0,也就是得到limxn?0.

n??4.微分方程y???4y??89?e2x(1?cos2x)的特解可设为y*?( )

(A)Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) (B)Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) (C)Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) (D)Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x)

2【详解】微分方程的特征方程为r?4r?8?0,有一对共轭的复数根r?2?2i.

所以?1?2不是特征方程的根,所以对应方程y???4y??89?e2x的特解应该设为y1*?Ae2x; 而

?2?2?2i是方程的单根,所以对应方程y???4y??89?e2xcos2x的特解应该设为

的(1?coxs2特)解可设为

xy2*?xe2x(Bcos2x?Csin2x);从而微分方程y???4y??89?2e. y*?y1*?y2*?Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x),应该选(C)5.设f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的(x,y)都有

?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,则( ) ?x?y(A)f(0,0)?f(1,0) (B)f(0,0)?f(1,1) (C)f(0,1)?f(1,0) (D)f(0,1)?f(1,0)

【详解】由条件对任意的(x,y)都有

?f(x,y)?f(x,y)?0,?0可知f(x,y)对于x是单调增加的,?x?y对y就单调减少的.所以f(1,1)?f(1,0)?f(0,0),f(1,1)?f(0,1)?f(0,0),f(0,1)?f(0,0)?f(1,0),只有第三个不等式可得正确结论(D),应该选(D).

6.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线v?v1(t)(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻为t0,则( ) (A)t0?10 (B)15?t0?20 (C)t0?25 (D)t0?25

【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,S(t)??T2T1v(t)dt表示时刻?T1,T2?内所走的路程.本题中的阴影面积S1,?S2,S3分别表示在时间段?0,10?,?10,25?,?25,30?内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在t?25时乙追上甲,应该选(C).

2

?000????17.设A为三阶矩阵,P???1,?2,?3?为可逆矩阵,使得PAP??010?,则A(?1??( ) 2??3)??002???(A)?1??2 (B)?2?2?3 (C)?2??3 (D)?1?2?3 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知

?000??000?????A(?1,?2,?3)?AP?P?010????1,?2,?3??010???0,?2,2?3?

?002??002?????所以A(?1??2??3)?A?1?A?2?A?3??2?2?3,所以可知选择(B).

?200??210??100???????8.已知矩阵A??021?,B??020?,C??020?,则

?001??001??002???????(A)A,C相似,B,C相似 (B)A,C相似,B,C不相似 (C)A,C不相似,B,C相似 (D)A,C不相似,B,C不相似

【详解】矩阵A,B的特征值都是?1??2?2,?3?1.是否可对解化,只需要关心??2的情况.

?000???对于矩阵A,2E?A??00?1?,秩等于1 ,也就是矩阵A属于特征值??2存在两个线性无关的特

?001???征向量,也就是可以对角化,也就是A~C.

?0?10???对于矩阵B,2E?B??000?,秩等于2 ,也就是矩阵A属于特征值??2只有一个线性无关的特

?001???征向量,也就是不可以对角化,当然B,C不相似故选择(B).

二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.曲线y?x(1?arcsin)的斜渐近线为 .

2x2x(1?arcsin)yx?1,lim(y?x)?limxarcsin2?2,所以斜渐近线为y?x?2. 解:lim?limx??x??x??xx??xx?x?t?etd2y10.设函数y?y(x)由参数方程?确定,则2|t?0? .

dx?y?sint 3

?cost?d?t??1?e?d2y1dycostd2y(1?et)sint?etcostdt|??【详解】,所以. ?,???t?0dxdx28dx1?etdx2(1?et)3dt11

???0ln(1?x)dx . (1?x)2【详解】

???0??ln(1?x)1ln(1?x)????1dx??ln(1?x)d??|0??dx?1 22?00(1?x)1?x1?x(1?x)12.设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数,且已知df(x,y)?yeydx?x(1?y)eydy,f(0,0)?0,则

f(x,y)? 0,0)0?,【详解】df(x,y)?yeydx?x(1?y)eydy?d(xyey),所以f(x,y)?xyey?C,由f(得C?0,

所以f(x,y)?xyey. 13.

?10dy?tanxdx? . yx11xtanx1tanx1dydx?dxdy?tanxdx??lncosx??lncos1. ?0?yx?0?0x?0011【详解】交换二重积分的积分次序得:

?41?2??1?????14.设矩阵A??12a?的一个特征向量为?1?,则a? .

?31?1??2?????【详解】根据特征向量的定义,有

?41?2??1??1??1?????????A???12a??1????1???3?2a?,解得a??1.

?31?1??2??2??2?????????三、解答题 15.(本题满分10分) 求极限lim?x?0?x0x?tetdtx3 【详解】令x?t?u,则t?x?u,dt??du,

?x0x?tetdt??x0uex?udu

x?0??limx0x?tetdtx3?lim?x?0ex?x0ue?udux3??limx?0?x0ue?udux3xe?x2?lim? x?0?3x3216.(本题满分10分)

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dyd2y|x?0,2|x?0. 设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,y?f(e,cosx),求dxdxx【详解】

dydy?f1?(ex,cosx)ex?f2?(ex,cosx)(?sinx),|x?0?f1?(1,1); dxdxd2yx?xxxxx?(ex,cosx)?????ef(e,cosx)?e(f(e,cosx)e?sinxf(e,cosx))?cosxf111122dx2

??(ex,cosx)?sinxexf21??(ex,cosx)?sin2xf22d2y??(1,1)?f2?(1,1). |?f1?(1,1)?f112x?0dx

17.(本题满分10分) 求limk?k?ln?1?? ?2n??n?n?k?1n【详解】由定积分的定义

k?k?1nk?k?1lim?2ln?1???lim?ln?1????xln(1?x)dxn???n?n??nk?1n?n?0k?1n

111??ln(1?x)dx2?20418.(本题满分10分)

已知函数y(x)是由方程x3?y3?3x?3y?2?0. 【详解】在方程两边同时对x求导,得

n3x2?3y2y??3?3y??0 (1)

在(1)两边同时对x求导,得

2x?2y(y?)2?y2y???y???0

2(x?y(y?)2)也就是y???? 21?y

令y??0,得x??1.当x1?1时,y1?1;当x2??1时,y2?0 当x1?1时,y??0,y????1?0,函数y?y(x)取极大值y1?1; 当x2??1时,y??0,y???1?0函数y?y(x)取极小值y2?0. 19.(本题满分10分)

设函数f(x)在区间?0,1?上具有二阶导数,且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0,证明: x 5

2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.?1?cosx,x?0?1.若函数f(x)??在x?0处连续,则ax?b,x?0?11(B)ab??(C)ab?0(D)ab?2221x1?cosx12f(x)?b?f(0),要使函数在x?0处连续,【详解】lim,limf(x)?lim?li
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