拉普拉斯变换在电路分析中的应用 电气13-3班 周俊楠
摘 要: 讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,
关键词: 拉普拉斯变换; 电路分析; 应用 在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接 求解微分方程额方法比较困难。此时可用积分变换法进行求 解。就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方 程换为复频域的代数方程。拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。 ￡变换一直是分析这类系统极为有效的方法. 而且, 由
于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处, 能够让我们在对电路分析中更加便捷。
1185
3 来求解 x 是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问 题得到简化. 现对方程两侧取对数, 得:
1185lgx = lg3 lgx =
x = lg
- 1
1 拉普拉斯变换
111 变换的目的
lg3 = 0? 2579 1? 85
(012579) = 116991
从此例可以总结出几个特点:
(1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lgx , 对 (?) ; (2) 反函数 lg (?) 也是单值函数;
- 1
于每一个 x 值都赋于一个 y 值, 即 lg
在解决和分析问题时, 我们常常对问题的数学表达式进
(3) 在实数域里, lgx 的定义域为 x > 0;
( ) - 1 ( ) 变换 lg (?) 和反变换 lg 4 ? 都可双列成表册, 以便查 行某种改造, 希望通过这种改造, 能够用更简单、更通用的方 用.
法去解决较为复杂的问题. 上述这种改造, 在数学上就可以称
1 2 拉普拉斯变换 S = T + j X 为复数
之为变换(或映射). 这种过程可以用图 1 的方框图来说明.
原问题 变换 较易解决 解 在变换域 反变换 原问题 的问题 里求解 的解 图 1 变换方法原理图
1185
(1) 设 f ( t) 为时间 t 的函数, 且当 t < 0 时, f ( t) = 0;
则定义拉普拉斯变换
∞
-st
e d t ? L [ f ( t) ] = F (s) = ∫0f ( t)
?
(2) 求函数拉普拉斯变换方法的总结.
∞
例 1 解方程 x = 3
① 直接利用定义式 F (s) = ∫f ( t) ? e- std t 求解
0
方程中的幂指数不是整数, 要直接计算 3 的 1185 次方根
②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求
F (s)
③ 查表法
113 拉普拉斯反变
-st
211 用拉普拉斯变换方法解线性微分方程
∞
0
c+ j ∞
在数学上, 根据拉普拉斯变换定义F (s) = ∫f ( t) ? e d t
st 这里拉普拉斯变换的一个最基本的应用. 含有未知数
f ( t) 及其各阶导数方程称为微分方程. 如果 f ( t) 及其各阶导
1
可以得出拉普拉斯反变换的公式是f ( t) = 2
(s)
式中C 是实常数, 为收敛横坐标, 它应比 F 一切奇点的实
P
∫jF (s) e ds,
c-j∞
数都是一次的, 则称之为线性微分方程. 线性微分方程常常被
用来描述各种各样的动态系统.
例 解微分方程
df ( t)
部都要大.
2
是将复杂的 F (s) 展开成部分分式, 再利用拉普拉斯变换的线
直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的, 通常
d t
2 + 3 ? df ( t) ? + 6 f ( t) 5 2
?
性性质和基本变换表来求 F (s) 对应的 f ( t).
2
S + 29S + 30 的三个极点是S 例 已知函数F (s) = 3 1 2
微分方程的拉普拉斯变换是
2
f
d t
(0) = 0, f (0) = 3
1 p
= 0
S F (S ) - S f (0) - f ’ (0) + 3S F (S ) - 3f (0) + 6F (S ) = 0
S + 7S + 10S
2 和S 3 = 5. 因此可以展开为下列形式: = 0, S 2 = - - 2
S + 29S + 30 A B C
代入初始条件, 并求出 F (S )
3
2
F (S ) = S + 35 + 6
S + 7S + 10S = S + S + 2 + S + 5
32
15 2
将上式右边通分, 则其分母与原函数相同, 而等式两边的
=
2
5
3
分子多项式为:
2
2
(S + 1 5) + (
2
15
2
S + 29S + 30 = (A + B + C ) S + (7A + 5B + 2C ) S
比较等号两边对应项的函数, 得: A + B + C = 1 7A + 5B + 2C = 29 10A = 30 解上面的线性方程组, 即可确定各函数为: A = 3, B = 4, C = - 6 从而, 有
+ 10A
2
F (s) 的反拉普拉斯变换就是原方程的解, 即
2
)
f ( t) = L
- 1
[ F (s) ] =
3
e
- 1. 5t
Sin (
15 t)
从以上分析可知, 所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法,
实质上就是把时间域里的问题变换到S 域去求解, 最后通过
反变换再返回时间域. 上述拉普拉斯变换中的复数S (或S 域)
常常称为复频率(或复频域).
212 电路复频域分析方法
例 应用S 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应, 如图
F (s) =
3
s
+
6 4
和 f ( t) = 3 + 4g - 3t - -
s + 2 s + 5
6e- 5t
2 所示电路, 求阶跃响应 u ( t) 和 i ( t).
2 拉普拉斯变换的应用
这里讨论的范围, 只限于线性定常系统. 所谓系统, 是用
来处理各种输入信号的装置. 这种处理可以用硬件来实现, 如
都统称为系统. 这些系统的规律也可以用某种数学方法来描
由各种电器元件组成的电路网络, 机械元件组成的运动系统, 述, 如电路方程, 微分方程, 硬件系统的传递函数(网络函数)
等. 这时, 我们也称这些数学表达方式为系统. 也就是说, 系统 也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律. 系统
图 2 二阶电路
解: (解题思路) 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应, 即
零状态响应. 作S 域模型时, 初始状态为零, 电感元件和电容
可以用软件表示, 因为只要把这些规律掌握了, 对实际系统的
特性也就能充分地了解了.
元件S 域模型中没有附加电压源. S 域分析计算的步骤是, 首
先作出时域电路的S 域模型, 然后应用节点分析法求解出待 应.
求量的象函数, 并将其展开为部分分式, 最后反变换为时域响
关于信号, 在电路网络中就是指电压和电流, 一般通指系
(解题方法)
统中一些变量, 和机械系统的位置、速度、压力和流量等等. 设 (1) 作出时域电路的S 域模型如图 3 所示. 其电压源的象 一个系统, 在输入为 f 1 ( t) 和f 2 ( t) 时的输出为y 1 ( t) 和y 2 ( t) , 10 1
函数是 , 复频域感抗 ZL (S ) = S , 复频域容抗 Z c (s) = 若输入为af 1 ( t) + bf 2 ( t) 时, 其输出为ay 1 ( t) + by 2 ( t) (a, b . 为 S S
(2) 求电压 u ( t) , 应用节点分析法, 列出节点方程为
常数) , 则这个系统为线性系统. 如果系统的参数(如电阻、电
10
容值等) 是不随时间改变的, 则称该系统为定常系统或时不变 1 S
系统. ( S + 1 + S + 1)U (S ) = S + 1
(S + 2S + 2)U (S ) =
2
10
性定常系统在正弦输入的激励下, 其输出为与输入同频率的
S
10
U (S ) = S (S + 2S + 2)
10
2
正弦信号. 但其幅度及相位将发生一定的变化, 不过, 对于不
同的频率, 输出信号的幅度及相位的变化是不同的. 以图 4 的
R C 电路为例. 当u1 ( t) 的频率很低时, 电容C 相当于开路, R
= S (S + 1 - j ) (S + 1 + j ) K 1 K 2 K 3
S + 1 + j = S + S + 1 - j +
中
计算待定常数
? 3 ? 10 ?
无电流通过, 即u2 ( t) = u1 ( t) 而当u1 ( t) 为高频信号时, 电容C
相当于短路, 则u2 ( t) = 0. 频率特性就是用来描述系统这种性
能的.
k1 = s U (s)
s= 0 S 2
+ 2S +
2 s= 0 = 5
k2 = (s + 1 -
10
U (s) ? s= - 1+ j = ? = - j ) ?
s (s + 1 + j )
频率特性可以简单地用 jw 代替系统传递函数中的S 而
获得.
图 4R c 电路的电压传输函数是
U 2 (s)
5
2
< -
45°
k3 = k 2 = -
5
2
< 45°
sc R +
sc
1 1
G (s) = U 1 (s) =
1 = 1 + R CS
进行拉氏反变换得出
10 - 1 - t( ( ) ( ) ) ? E ( ) u t = L [U s ] = [ 5 - 2 e co s t - 45°] t t V
图 4 R C 电路
图 3 S 域模型
(3) 求 i ( t)
1 电路的S 域阻抗为 Z (s)
= (s + 1) +
s + 1
10
U s (S ) s
故 I (s) = =
Z (s)
在正弦稳态的情况下, 将S 变为 j X, 即得到它的频率特性
(又称正弦传递函数).
U 2 ( j ) 1 X =
( j ) 1 + j R C G ( j ) = U
X X
1
? X ? ?
它的幅频特性(幅度随频率变化的函数)
X
?
X
1
1
s + 1 + s + 1
10 (S + 1)
2
=
S (S + 2S + 2)
10 (s + 1) = s (s + 1 - j ) (s + 1 + j ) K 1 K 2 K 3 = S + s + 1 - j + s + 1 + j
2
1 + ( R C )
相频特性(相位随频率变化的函数) G ( j ) =
1+ j R C X 1 =
2
7 = - lg (XR C )
如果以横坐标表示频率 X, 用纵坐标表示幅度或相位, 就
- 1
可以分别画出它的幅频特性曲线和相频特性曲线. 频率特性
计算待定常数
10 (S + 1)
k1 = s I (s) s= 0 = s= 0 = 5
+ S + 2S 2
10 (s + 1)
I (s) ? s= - 1+ j = s (s + 1 + j ) ? s= - 1+ j k2 = (s + 1 - j ) ? 5
的图标形式有很多种, 工程上用得最多的是对数坐标图, 即波
特(Bode) 图.
用波特图描述频率特性时, 采用的是半对数坐标, 频率采 X
X
X
X
X
用对数分度, 即以 lg 2 - lg 1 = lg
2 1
X
= - < 45°
5 ? ? ] = [ 5 - 2 °
? =
5 k3 = k 2 = - < 45°
3
5
5 5
< 45° 5 < - 45°
I (s) = - 2 5
+ s s + 1 - j s + 1 + j
当 2 = 10 1 , 其频率间隔就称为十倍频程, 这时 lg 2 =
1
? XX ? ? ?X ? X ? X X
= 10 和 lg10 = 1. 也就是说, 可以以十倍频程的频率点(如
100, 100 和 1000, 25 和 250 等) 间的间隔长度是相等的.
( t)A 波特图的幅度用分贝(dB ) 作单位, 角度用度或弧度作单
采用这种记法的好处在于 G ( j ) 中相乘的项被化为相
位. 表达式为 G ( j ) (dB ) = 20tg G ( j )
进行反拉氏变换得出 - 1
i ( t)
L
[ I (s)
10
e co s ( t + 45 ) ]
-t
加, 这给作图提供了极大方便, 例如
213 频率特性及波特图
? E
系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应. 可以证明, 线
?T X ?
X
2 2
X
20lg 1 + T = 20lg (T X - 20lg1 + T
这样就可以只研究G ( j X) 的各种典型因子(与拉普拉斯
2 2 )
反变换时相类似) 的波特图, 然后再进行代数或图解加法得到
? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
?G ( j X) ? 的波特图.
(1) 比例系数 K ;
一般把任意正弦传输函数分解为几种典型因子乘积:
X
( ) ) - 1 的幅角7 为- 1 (
= - lg XT 当频 7 1 + j XT G j X =
率为零时, 幅角为零; 当频率趋于无穷大时, 为 - 90°;在转角
( )
频率处, 为 7 = - lg- 1 T = - 45°,由于 7 是反正切函数, 它
(2) 纯 j
X o
因子 (积分或微分因子) + 1
N X?X
n
o
T 对拐点 7 = - 45°是斜对称的.
(3) 一阶因子(1 + j T ) 1; (4) 二阶因子[ 1 + 2 ( j
)
+ ( j 1. n ) ]
用一阶因子为例说明波特图的画法, 图 4 中R C 网络的传 X?X
用渐近线(或加以修正) 来描绘波特图的方法在工程上应 用很广. 绘制任意传输函数G ( j X) 的波特图时, 一般可按下述 步骤进行:
输函数就属于这种形式.
X X
设G - 1 ( j ) = (1 + j T ) , 则
(1) 将G ( j X) 分解为基本因子的乘积;
(2) 找出这些因子的转角频率; (3) 在转角频率之间以适
? X ?
?
X G ( j ) = 20tg (1 + j T ) 1 = - 20tg 1 + T
? n ? X n X 低频时, 即 1 T 或 T 1, 可以近似表示为: G ( j ) = - 20lg 1 + T 2 2 ≈ - 20lg1 = 0
- ?
2
X ?
X
X m
2
当斜率(如 - 20 分贝 ?十倍频
程) 画出对应的渐近对数幅值曲线;
(4) 在渐近线基础上加以适当修正, 即得幅频曲线; (5) 将各因子的相角曲线相加, 即得相频曲线.
?
因此, 低频时对数幅值曲线是零分贝线. 高频时, 即
1 T 或
? 3X
X ?
X
》1, 则 X
?
除了本文所述内容之外, 拉普拉斯变换还有许多应用,
G ( j ) = - 20lg 1 + T 2 2 ≈ -
X
在 = 1 T 时为零分贝; 在 = 10 T 时为 - 20 分贝, ? X
= 100 T 时为 - 40 分贝. 即 每增加十倍就减少 20 分贝. 这
? X
20lgT
X 例如数学上还可以用来解一类积分方程, 偏微分方程等等. 而 传输函数的远不止子电气工程, 从一般工业过程控制, 能源工
X
样(1 + T 2 2 ) 的幅频特性可以用两条渐近直线来近似: 当 0 < ∞ 时, 是斜率为 < < 1 T 时, 是 0dB 的直线; 当 1 T <
X
1
程控制, 乃至尖端的航天飞行器的设计上, 都应用到传输函数
的概念.
? ? X
?
- 20dB 十倍频程的直线, 图 5 就是它的近似曲线和精确曲
线. 两条直线的交点 = 1 T 称为转角频率. 采用近似线的最
大误差出现在转角频率处, 这时误差为: - 20lg 1 + 1 -
X ?
[ 参 考 文 献]
[ 1 ]李瀚荪. 电路及磁路[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1998. [ 2 ]向国菊, 孙鲁扬. 电路典型题解[M ]. 北京: 清华大学出版社, 1998. [ 3 ]胡锡恒. 实用拉普拉斯变换和 Z 变换手册[M ]. 北京: 电子工业出
1
版社, 1998.
[ 4 ]邱关源. 电网络理论[M ]. 北京: 科学出版社, 1995.
[6 ]邱关源 电路 高等教育出版社 2006
[7] 张鸿艳 复变函数与积分变换 化学工业出版社 2011
[5 ] 孙虎章. 自动控制原理[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1987.
(- 20lg1) =
-o
10lg2 = - 3 01 即最大误差约为 3dB. 图 5 幅频特性渐近线
拉普拉斯变换在电路分析中的应用.pdf
