2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）试题
一、填空题 （1）曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为 .
5x?2cosx?1?（2）设函数f(x)??x3??（3）广义积分
?x0sint2dt,x?0,x?0在x?0处连续，则a? .
a,???0xdx? .
(1?x2)2（4）微分方程y??y(1?x)的通解是 . xy（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则（6）设矩阵A?? . 二、选择题
dydxA?0= . ?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B=
??12?（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
（A）0?dy??y. （C）?y?dy?0.
（B）0??y?dy. （D）dy??y?0.
【 】
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数.
（C）在x?0间断的奇函数 （9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. 【 】
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
【 】
x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
xx
?
1（B）y???y??2y?3e. （D）y???y??2y?3e.
xx（11）设f(x,y)为连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
0 （A）
??220dx?dy?1?x2xf(x,y)dy.
（B）
??220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
（C）
2201?y2yf(x,y)dx.
（D）
2201?y20f(x,y)dx. 【 】
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?1y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约
束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （13）设a1,a2,
【 】
,a,均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是
,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性相关. ,Aa,线性无关. ,Aa,线性相关.
,Aa,线性无关. 【 】
（A）若a1,a2,（B）若a1,a2,（C）若a1,a2,（D）若a1,a2,（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2
?110???列得C，记P??010?，则
?001???（A）C?PAP.
（C）C?PAP.
T?1
（B）C?PAP. （D）C?PAP.
T?1三 解答题
15．试确定A，B，C的常数值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当
x233x?0时比x3的高阶无穷小.
arcsinexdx. 16．求?ex17．设区域D?(x,y)x2?y2?1,x?0，计算二重积分I?18．设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?0,1,2,??1?xydxdy. 22??1?x?yD)
证明: (1) limxn?1存在,并求极限；
x??x2(2)计算lim(n?1)xn.
x??xn19．证明: 当0 1f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x2?y2?满足等式 ?2z?2z?2?0. 2?x?y(Ⅰ)验证f???u??f??u??0；(Ⅱ)若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式. u?x?l2?1,21 已知曲线L的方程为?2?y?4l?t（Ⅰ）讨论L的凹凸性； (t?0), （Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. ?x1?x2?x3?x4??1?22 已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解 ?ax?x?3x?bx?134?12Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； Ⅱ求a,b的值及方程组的通解. 23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ?A. TTT2007年全国硕士研究生入学统一考试（数学二）试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） ?（1） 当x?0时，与x等价的无穷小量是 （ ） A. 1?ex B.ln1x1?x C. 1?x?1 D.1?cosx 1?x（2）函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1x在区间???,??上的第一类间断点是x?( ) A. 0 B. 1 C. ??? D. 22（3）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?列结论正确的是： （ ） ?x0f(t)dt,则下 35 F(?2) B.F(3)?F(2)4435 C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)??F(? 2)44 A..F(3)??(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( ) f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 B. 若lim存在, f(0)?0 x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)C. 若lim存在, 则f?(0)?0 D. lim存在, f(0)?0 x?0x?0xx1x（5）曲线y??ln(1?e),渐近线的条数为 （ ） xA. 0 B.1 C.2 D.3 A. 若lim(6)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f\x)?0, 令un= f(n)?1,2.......,n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若u1?u2，则?un?必收敛 B. 若u1?u2，则?un?必发散 C. 若u1?u2，则?un?必收敛 D. 若u1?u2，则?un?必发散 （7）二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） A. ?x,y???0,0??lim?f?x,y??f?0,0????0 f?0,y??f?0,0?f?x,0??f?0,0??0 ?0，且limB. limy?0x?0yxC. ?x,y???0,0?limf?x,0??f?0,0?x?y22?0 ?f'y?x,0??f'y(0,0)?f'x?x,0??f'x(0,0)?D. lim???0,且lim??0, x?0?y?0??（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分?1?2dx?sinxf(x,y)dy等于 （ ） 11A. ?0dy???arcsinyf(x,y)dx B.?0dy???arcsinyf(x,y)dy 1??C.?0dy?2??arcsiny?f(x,y)dx D.?dy?01??arcsiny?2f(x,y)dx （9）设向量组?1,?2,?3线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A） ?1??2,?2??3,?3??1 （B） ?1??2,?2??3,?3??1 （C） ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 （D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 ?100??2?1?1?????（10）设矩阵A=??12?1?，B=?010?,则A于B， （ ） ??1?12??000?????(A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 (11)limarctanx?sinx?____. 3x?0x?x?cost?cos2t?上对应于t?的点处的法线斜率为_____ (12)曲线?4?y?1?sint(13)设函数y?1n，则y?0?＝_____. 2x?3(14)二阶常系数非齐次线性微分方程y''?4y'?3y?2e2x的通解y＝_____. yx?z?z?_____. (15)设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则x?yxy?x?y
全国硕士研究生入学考试数学（二）试题
