专题19 平行四边形
专题知识回顾
1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2．平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。 3．平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah
专题典型题考法及解析
【例题1】（2024?广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F 【答案】B．
【解析】利用三角形中位线定理得到DE
AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE
AC．
A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
1
C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
【例题2】（2024湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F． （1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
【答案】看解析。
【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB=
BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴BD=
=BC
=2BC，
∵G为BD的中点， ∴BG=BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°， ∵∠ADB=45°， AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD， ∴四边形ACGD为平行四边形；
2
（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD； ∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD， 在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．
专题典型训练题
一、选择题
1. （ 福建福州）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 ) 【答案】A
【解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称．由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．
∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关
3
于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1），故选择A . 2.（ 河北省）关于□ABCD的叙述，正确的是（ ） A．若AB⊥BC，则□ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则□ABCD是正方形
C．若AC=BD，则□ABCD是矩形 D．若AB=AD，则□ABCD是正方形 【答案】C
【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.
当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项A不正确；∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项B不正确；∵AC=BD，∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项C正确；∵AB=AD，∴□ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确. 3.（湖南湘西）下列说法错误的是（ ） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】D
【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断．
选项A、B、C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D . 4．（2024?山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC 【答案】A
【解析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形，
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
4
∵OM＝AC， ∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
5.（山东淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=
1BC，点G是AB上一点，点H4在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影的面积是（ ）
AGHBDC
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B
【解析】本题考查三角形的面积的计算，平行四边形的性质，及整体思想，解题关键是能整体求解. 这里两阴影部分以公共边GH为底，则高的和=△ABC的BC边的高.
设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2． S△ABC=
1BC?h=16， 21111GH?h1+ GH?h2=GH?（h1+h2）=GH?h． 22221BC， 4S阴影=S△AGH+S△CGH=
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=∴GH=BD=∴S阴影=
1BC. 4111×（BC?h）= S△ABC=4．故选择B 424二、填空题
6．（2024广西百色）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
【答案】30°
【解析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边AD边上的高等于AD的一半，
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【优选】2024年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题19 平行四边形(教师版)
