(2)证明 由cn＋1－cn＝log1an＝2n＋1，得
2当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1).
1111∴＋＋＋…＋ c2c3c4cn＝
1111
＋＋＋…＋ 22－132－142－1n2－1
11111111＝×[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] 232435n－1n＋11111＝[(1＋)－(＋)] 22nn＋131113＝－(＋)<. 42nn＋14
111111又∵＋＋＋…＋≥＝，
c2c3c4cnc23∴原式得证.
点评 (1)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适11111用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·(－).其余还有
an·an＋1an·an＋1danan＋1公式法求和等.
(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.
变式训练3 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
anan＋1解 (1)由a1＝10，a2为整数， 知等差数列{an}的公差d为整数. 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0，10＋4d≤0. 105
解得－≤d≤－.因此d＝－3.
32数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
1111
(2)bn＝＝?10－3n－13－3n?.
??13－3n??10－3n?3?于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
11??111??11?－－＋－＋…＋?＝??3??710??47??10－3n13－3n?? 111n
＝?10－3n－10?＝3??10?10－3n?.
高考题型精练
1111
1.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为( )
248161
A.n2＋1－n
21
C.n2＋1－n－1
2答案 A
1
解析 因为an＝2n－1＋n，
21＋2n－1
则Sn＝n＋
2
1
B.n2＋2－n
21
D.n2＋2－n－1 2
?1－1n?·1?2?2
11－2
1
＝n2＋1－n.
2
11212312391
2.已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数23344410101010anan＋1列{bn}的前n项和Sn为( ) n4n3n5n
A. B. C. D. n＋1n＋1n＋1n＋1答案 B
1＋2＋3＋…＋nn解析 ∵an＝＝，
2n＋11114
∴bn＝＝＝4?n－n＋1?，
?anan＋1n?n＋1??11??111
1－?＋?－?＋…＋?n－∴Sn＝4??n＋1 ?2??23?
????
＝4(1－
14n)＝. n＋1n＋1
－
3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ) A.200 B.－200 C.400 D.－400 答案 B
解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
?n2， 当n为奇数时，?
4.已知函数f(n)＝?2且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等
?－n， 当n为偶数时，?
于( )
A.0 B.100 C.－100 D.10 200 答案 B
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.
2
5.若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为( )
n?n＋2?1
A.1－
n＋2311C.－－ 2nn＋2答案 D
211
解析 因为an＝＝－，
n?n＋2?nn＋2所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
111111111＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
32435n－1n＋1nn＋2111311＝1＋－－＝－－.
2n＋1n＋22n＋1n＋2故选D.
1111
6.已知数列{an}为等比数列，前三项为：a，a＋，a＋，且Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Tn＝
2233
22
a21＋a2＋…＋an等于( )
311
B.－－ 2nn＋1311D.－－ 2n＋1n＋2
?2?n? A.9?1－??3??
81?4?n? C.?1－
5??9??答案 C
11?2?11?解析 由??2a＋2?＝a?3a＋3? 解得a＝3(a＝－1舍去)， 4n??a211－??9??2＋…＋a2＝Tn＝a2＋a 12n
41－9
?2?n? B.81?1－??3???4?n? D.81?1－??9??
481
1－??n?. ＝?9?5?
7.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案 2n1－n－2
解析 因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1， 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n 2?1－2n?＋
＝－n＝2n1－n－2.
1－2
8.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案 2n1－2＋n2
2?1－2n?n?1＋2n－1?n＋1
解析 Sn＝＋＝2－2＋n2.
21－2
9.数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________. 答案 1 830
解析 ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，
∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋2615×?10＋234?
＋42＋…＋234＝＝1 830.
2
?1?
10.在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?bb?的前n项
?nn＋1?
＋＋
和Sn＝________. 答案
n n＋1
解析 设等比数列{an}的公比为q， a4
则＝q3＝27，解得q＝3. a1所以an＝a1qn1＝3×3n1＝3n， 故bn＝log3an＝n，
1111所以＝＝－.
bnbn＋1n?n＋1?nn＋1
?1?111111n则数列?bb?的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
223nn＋1n＋1n＋1?nn＋1?
－
－
Sn
n，?(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上. 11.设数列{an}的前n项和为Sn，点??n?
(1)求数列{an}的通项公式；
3m
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整
20anan＋1数m.
Sn
解 (1)依题意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.
n
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(n∈N*).
13311
(2)由(1)得bn＝＝＝?6n－5－6n＋1?.
?anan＋1?6n－5?[6?n＋1?－5]2?11??1?1?1??1??11??－1－1－－故Tn＝?bn＝?7?＋?713?＋…＋6n－56n＋1＝
2????2?6n＋1?. i＝1
n
11m1m
因此，使得?1－6n＋1?＜(n∈N*)成立的m必须满足≤，即m≥10，
2?220?20故满足要求的最小正整数m为10.
12.在数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2， a2－1
a2－1＝4，＝2，
a1－1∴an－1＝2·2n1＝2n， ∴an＝2n＋1.
(2)bn＝nan＝n·2n＋n，
故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n). 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n1.
＋
两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n1＝
＋
－
2?1－2n?＋
－n·2n1， 1－2
∴T＝2(1－2n)＋n·2n1＝2＋(n－1)·2n1. n?n＋1?
∵1＋2＋3＋…＋n＝，
2∴Tn＝(n－1)·2
n＋1
＋＋
n2＋n＋4＋.
2
考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题5 数列、推理与证明 第24练
