高中课件教案说课计划 (5)
第十六讲 第一部分
我们今天开始来讲不等式这一讲,相信有的学校有的同学已经在之前已经学习过一些了,而且我们从小学开始到初中,不等式的内容大家一直都在学,甚至我们在解决很多问题的时候,也在不自觉的使用不等式当中的一些基本工具.比如说我们在高一的时候解决相关单调性的时候,其实就用了很多不等式的知识,对吧?我们在做单调性的时候是不是要作差然后因式分解大于0小于0的问题。其实我们已经用到了很多的不等式，而且我们在初中的时候已经学过了基本的一元一次不等式，包括这个二元一次不等式组怎么去处理。我们在学二次函数的时候，也大致地去处理了一下二次不等式到底是怎么一回事，对不对？一元二次不等式到底怎么去解决，所以不等式这玩意儿呢，其实说白了，我们之前已经学习了很多很多相关的东西。那为什么现在还要来讲不等式这个东西呢？它大概有这样几个作用：第一个作用是从原理上也就是我们为什么可以这样去做的道理重新把它书写一遍，并且利用书写的这个过程让我们去知道在很多不等式的问题处理当中，我们可以怎样按照我们的基本原则去处理。这样，我们能处理的不等式就不仅限于我们之前会的那些不等式，什么一元一次不等式，一元二次不等式，二元一次不等式组啊那些具体的形式，我们可以把不等式的很多想法延伸开来，这是我们学不等式的第一个用途，那么第二个用途呢，就在于我们能够去掌握更多的一些不等式，比如说，我们会掌握一些简单的均值不等式，那么有了更多不等式作为功底，那我们将来去学习很多新的东西的时候，可能对我们帮助更加大一些。这是我们为什么要把不等式再回过头来在讲一遍，就是说我们一方面对之前的进行一些总结，得到一般性的规律，第二我们再学习一些新的工具，这就是我们这一讲的主要意义，好吧。
不等式关系其实说白了，其实是一个序的关系。是我们定义在数当中的一个序关系，什么叫做序关系呢？就是，我们再数当中有各种各样的关系，比如相等是不是一个数关系，比如在平面中，我们的直线有平行，这是不是也是关系？相交是不是也是关系？它代表两种元素可能会具有的某种意义上的关系，那么序关系，一般在数学当中。你们在数学当中学到的不等关系其实是集合定义当中的一种偏序关系，不过在这里呢，我们不打算对这件事情过多的去说，我们知道，
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实数集当中的所有数按照这样的一个不等关系，可以进行一个所有数的排序，是不是应该这样的？是对所有数进行的这样的一个排序吧！但是，这个我必须申明，不是所有数都有这个排序关系的，我们将来要再高二学到的复数的集合，它们把实数当中的序关系就泯灭掉了，换言之，如果我们把数这个集合进一步地扩大到复数集以后你会发现它就不存在序关系了，这个的那个我们高二讲到复数的时候我们再来说，那么实数集当中建立的序关系，我们在初一的这个时候作的一个最简单的关系，为什么我们说，3是小于5的？为什么我们说-1是小于0的？我们在初中学习的序关系的时候用了一个最简单最直观的方法是什么？用的是什么？用的是数轴作的序关系的定义。还记得初中讲的什么么？数轴的三要素，缺一就不是数轴了。缺少原点也可以是数轴，我告诉大家，其实这也可以叫数轴。只不过在初中这个角度，你不承认，你说在这里有哪个点你是表示不出来的？这是缺原点的，缺正方向也行，你这样写完了以后你是不是知道哪边是正方向了？是这么回事吧？缺单位长度的其实也行，是不是一回事？其实说白了，在数轴上我们只需要标出两个数我们就可以确定数轴了，能理解吧？其实理论上，任意一个数轴，你只要标出两个数，整个数轴是不是就被你确定下来了？是这么回事吧？其实说白了就是这样！我只是跟大家简单说一下，那些个定义框框架架只在我们的初中阶段需要去注意，你在数轴上标一个数当然不行。好，那数轴上定义的基本序关系是什么？什么东西叫做大于？来，大家告诉我。数轴上我们约定，越往右边的数是不是就应该越大？是这么回事吧？是不是越往右的数就越大，按照正方向，越往右这个数就越大。那么我们有了最基本的不等关系，叫做“＜”“＞”。＜的反过来就表示＞，所以说你们会觉得不等式的第一个性质会非常的恶搞。就是①如果，那么，大家有没有觉得这是一个无敌于天下的性质？！但是如果不借助数轴，你能证明它么？不等式的性质我才刚开始说第一条，你觉得还有不等式性质这个东西么？所以说大家一定要注意啊，当我们看到这个东西的时候，你脑子有时候可以反过来想一想，哎，为什么会有这个东西存在！是这么回事吧，那如果我们没有规定数轴的序关系的话，包括连这个东西都没有办法说清楚，是这样的吧，能理解吧？好，第二条最基本的东西，叫做不等号的同向传递性，这意味着，如果，我们就能推出，这个我们叫做不等号的同向传递，大于号小于号都能产生这样的传递性，是不是应该这样的？那么，那么a和c之间
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的大小关系你可说不清楚，是这么回事儿吧？！但是，这个形式能给我们一个非常重要的启示，就是我们在不等式的证明当中，经常会使用一个方法叫放缩法，它的一个重要的作用就在于如果你发现你要比较a和c，而你在a和c之间很难建立起一个关系的时候，你可以尝试去找一个中间量b，是这么回事儿吧？好，我们来举个例子.
例1:比较和的大小。
我们试图去比较这两个数的大小的时候，有没有想过？那么我们发现这两个数之间，底数又不相等，指数也不相等，是不是这样的？它们俩都不相等，当你去比较这两个数的时候，你发现其实挺难比较的，是吧？于是我们可以构造出一个什么样的数出来？比如说我们可以构造一个出来，它和这个数是可以比较的，它和这个数怎么比较？，哎其实你发现，它和它的比较其实是一个，其实比较的是，是这么回事吧？我们知道是单调增还是单调减的？我们知道是单调减的，所以这个数和这个数谁大？显然次方的这个要大一些，那这个和这个比较的时候是在比较什么？我们比较的是它们的指数相同，我们比较的是这个函数，是不是应该这样的？那么这个函数是单调增还是单调减的？在大于0的时候，幂函数在＞0的时候，幂函数在0到的时候是单调增的，哦那我们得到这个是小于这个的。是这么一回事儿吧，从而我们可以比较这个东西和这个东西，这其实就是我们，说白了，就是我们怎样使用我们不等式这样的一个性质，它的传递性我们可以在这个地方得到使用，所以我们去看每一个性质的时候，你不要觉得太容易，很多时候，你是看到这个性质非常简单，但是你怎么把他用好真的是没你想的那么简单，能明白我的意思吧？所以这是说的我们的第二条性质，当你发现a和c的关系没有那么明显的表现出来的时候，你能都去构造一个b，它的难点在于你能否构造出来这样一个b，使他能够成为a和c之间的一个桥梁，好，这是我们的第二个性质，那下面我们显然学过不等式若干性质当中，来。不等式和运算结合在一起的时候，性质怎样体现出来？大家还记得么？第一条最基本的性质是什么？不等式如果，不等式两边加上或减去同一个数，不等号的方向应该不变，是不是应该这样的？那么我们可以得到，，是不是应该这样的？好。这个性质给我们什么样的作用呢？第一个，它告诉我们为什么不等式左右两边是可以移项的，能理解我这句话的意思么？它告诉我们为什么它是可以移项的。这个东西其实它
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