课题：2.4.3.3 空间向量求角度与距离
教材分析：
角和距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计角和距离，空间坐标系中可以用代数方法解决角度与距离，比找证求的方法更加适用。 课 型： 新授课
教学要求：使学生熟练掌握空间角度与距离的求法． 教学重点：公式的应用． 教学难点：公式的应用． 教学过程：
一．复习提问：
1．空间向量坐标，两点间的距离公式． 2. （1）用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之
间的距离是d?EF?nn ；
（2）用法向量求点到平面的距离
A 如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，n为平
nC α B 面α的法
向量，则 A到平面α的距离为d?AB?nn；
（3）用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.
（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
z （5）用法向量求二面角
二．例题讲解：
例题1．如图6，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是
G1 E1 棱y x 平
面
棱长为2，
C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E，G在DCC1D1内的正投影．
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线FG1?平面FEE1；
（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
解：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，连结EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E?DE1FG1的体积，其底面DE1FG1面积为
11?2?2??1?2?2， 2212又EE1?面DE1FG1，EE1?1，∴VE?DE1FG1?SDE1FG1?EE1?.
33SDE1FG1?SRt?E1FG1?SRt?DG1E1 ?（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1(0,2,1)、G1(0,0,1)，又G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG1?(0,?1,?1)，FE?(1,1,?1)，FE1?(0,1,?1)， ∴FG1?FE?0?(?1)?1?0，FG1?FE1?0?(?1)?1?0，即FG1?FE，FG1?FE1， 又FE1?FE?F，∴FG1?平面FEE1.
（3）E1G1?(0,?2,0)，EA?(1,?2,?1)，则cos?E1G1,EA??E1G1?EAE1G1EA?26，设异面直线
E1G1与EA所成角为?，则sin??1?23?. 33z D1 A1 C1 棱AB
例题2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为
的中点。
求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）
解析：建立坐标系如图，
则A?2,0,0?、B?2,2,0?，C?0,2,0?，
B1 A1?2,0,2?，B1?2,2,2?，D1?0,0,2?，E?2,1,0?，
uuuurA1C???2,2,?2?，
uuuuruuuruuuurD1E??2,1,?2?，AB??0,2,0?，BB1??0,0,2?。
x A D y C E B uuuuruuuuruuuuruuuuruuuurACgDE3。 11不难证明A1C为平面BC1D的法向量，∵ cosACuuuruuuur?1,D1E?u9ACD1E1∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为角。
例题3．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。
3。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹9
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.
解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，
过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得
tan?AOD?55，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为； 22（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同时，BC⊥平面BPA于B，
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=
/2
θ=45。
0
即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。 解法2（补形化为定义法）
如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、
∠APD是两面所成二面角的平面角。
PD，于是
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。 三：巩固练习：
四．小结
1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；
2．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。
3．求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：
①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置； ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；
③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：
根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。
作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ＝
S?”求二面S
角否则要适当扣分。
④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；
⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。
4．注意数学中的转化思想的运用
（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；
（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置； （3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。
五．作业 课后记:
高中数学教案 4.3.3空间向量求解角度与距离教案 新人教A版必修2
