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初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15．求证：△PBC是正三角形．
证明。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
A D
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则
P ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。 C B
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线
交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
F
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. E 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) N C D 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. A B M
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．
证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线，
D 所以PQ＝（ME＋NF）/2
G 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
C 所以角OCB=角NBF E 而角C0B＝角Rt＝角BNF
P F CB=BF
所以△OCB全等于△NBF A B Q △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．
过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE
0
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因DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB
因四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB
A P B C D 5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因四边形DCBA是正方形 A 所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
P 即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
B 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
6.一个圆柱形容器容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
D C 构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳
vv??t 2x8x5v解之得：x?
8t5v经检验得：x?是原方程解。
8t5v5v∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t2t由题意得：
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形
OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
y??y
MBQABOQAOxMxCPP图
图1解：（1）设正比例函数解析式为y?kx，将点M（?2，?1）坐标代入得k=，所以正比
2例函数解析式为y=1x 22 x同样可得，反比例函数解析式为y=（2）当点Q在直线DO上运动时， 设点Q的坐标为Q(m，m)， 于是S△OBQ=而S△OAP=所以有，
121OB?BQ2111创mm=m2， 2241(-1)?(2)=1， 212m=1，解得m??2 4构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳
1)和Q2(-2，-1) 所以点Q的坐标为Q1(2，（3）因四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（?1，?2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)， 由勾股定理可得OQ=n+所以当(n-222n422=(n-)+4， n2n222)=0即n-=0时，OQ2有最小值4， nn2又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线
BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
A D ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD. P 1
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， H 2 ∵ PB=PE，
B C
∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
E
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∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵ AP=x，AC=2， ∴ PC=2- x，PF=FC=22(2?x)?1?22x. BF=FE=1-FC=1-(1?22x)=22x. ∴ S△PBE=BF·PF=
22x(1?22x)??122x2?2x. 即 y??122x2?2x (0＜x＜2).
② y??12x2?212212x??2(x?2)?4.
∵ a??12＜0，
∴ 当x?22时，y最大值?14.
（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， △AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 又∵ PB=PE， ∴ BF=FE， ∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD. （2）①∵ AP=x， ∴ BF=PG=22x，PF=1-22x.
∴ S△PBE=BF·PF=
2x(1?22x)??1x2222?2x. 即 y??122x2?2x (0＜x＜2).
② y??12x2?212212x??2(x?2)?4.
A D
P B
F E
C A G
3 2 D
P 1 B F E
C
初二数学经典难题及答案
