陈梅
为了估计上式等式右边中的第一项，我们应用H?lder不等式、引理2，和(42)
c∫0Te∫?φψSκκSxxSxκdxdτ≤CφL∞(QTe)κκSxxSxκL1QTe()≤CφL∞0,Te;H2(?)(). (50)
对于(49)的右边第二项，应用H?lder不等式和(41)我们得到
cν∫0Teκκ∫?φ(Sxx)Sxdxdτ≤Cφκ2κS∞xxL(QTe)()2κSxκL1QTe()≤CφL∞0,Te;H2(?)(). (51)
结合(50)和(51)，我们立即可以得到I1≤Cφ现在开始估计I2
L∞0,Te;H2(?)()。
I2c∫0=≤c∫0Teκκ∫?SxψSSxφxdxdτ?cν∫0κκκ∫?φxψSSxSxTeTe∫?SxκκSxκκκκSxxφxdxdτκSxTeκdxdτ+cν∫0∫?φxSxxSxκdxdτ (52)
=:I2,1+|I2,2κκ根据引理2和Sx≤Sxκ可以得到
TeI=c∫02,1Teκκ∫?φxψSSxSxκdxdτ≤C∫0κ∫?φxSx2κdxdτ≤CφxL∞(QTe)κSx2κL1QTe()≤CφL∞0,Te;H2(?)() (53)
应用H?lder不等式和(44),(41)，我们可以得到
I2,2=cν∫≤cν∫Te0Te∫?SxSxxφxκκκSxκdxdτ0TeSxκ12κL12∞(?)φxφxTeL∞(?)∫?(S)xκκ12κκSxxSxdxdτ≤cν∫0SxL∞κκL∞(?)L∞(?)(∫12?SxκκSxxdxκSx12κ2)(∫12?Sx12κ2dx)dτ)1212≤Cφ(0,Te;H2(?))∫0κSxκL∞(?)(∫?κSTeκ2xxdxκ)dτκ (54)
?Teκ≤CφL∞0,T;H2(?)?∫Sx)?0(e≤CφL∞0,T;H2(?)κ?τd?L∞(?)?(∫0∫?SxSκ2xxdxdτ(e)κκSxt至此，通过对I2和I1的估计可以得到Sx为了证明(47)，我们给出下面的定义
L10,Te;H?2(?)()是有界的。
fκ:=?cψSκκ取φ∈L∞0,Te;H2(?)，用Sxφ(()tSκκ?νSxxSx. (55)
κ)()(0=((S?f)(S,(Sφ))?(f,(Sφ))tκκ)与(S),(Sφ)xκ?fκ作内积，并且关于(t,x)做积分，利用(45)可得
)xκxQTetκxκxQTeκxκκκκSxφd(τ,x)?fκ,Sxx=?∫QStxφTe(xQTe)1?κ2κS=???xκ,φ??fκ,Sxxφ2?t?QTe()QTeQTeκ?fκ,Sxφx()
QTeQTe()κφx?fκ,Sx()
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理论数学
陈梅
把上式改写成如下格式 1?κ?Sx2?(),φ???2κtQTeκ=?fκ,Sxxφ()QTeκ?fκ,Sxφx()QTe≤∫QTeκfκSxxφd(τ,x)+∫QTeκfκSxφxd(τ,x) (56)
由估计(55)和(48)~(51)可得
fκSxxφd(τ,x)∫∫=QQκTeTeκStκSxxφd(τ,x)≤CφL∞0,Te;H2(?)(). (57)
由(48)，(55)和(52)~(54)，我们就可以用CφfκSxφxd(τ,x)∫Q∫=QκTeTe)来估计(56)的等式右边最后一项
κStκSxφxd(τ,x)≤CφL∞0,T;H2(?). (58)
(e)L∞0,Te;H2(?)(至此，由(56)-(58)，使得(47)成立。
根据引理2,引理4和引理5~7，我们可以将Alber-Zhu模型(8)~(10)的弱解从小区间[0,T]不断延拓到整个空间[0,Te]。
2.3. 一维Alber-Zhu模型弱解的存在性
本节我们将研究(19)-(21)的解Sκ在κ→0时的收敛性并且证明定理1。
其中C是与κ无关的常数。意味着我们可以选择序列κn→0由估计(34)和(36)可得Sκ1,4≤C，3W{}κn(QTe)和一个函数S∈W1,43(Q)使得序列STe(这里仍然用Sκ来表示)满足下式
4L3Sκ?S43(QTe)κ?Sx，Stκ?St， (59) →0，Sxpp部凸空间B1，其中1≤p<∞。如果ν,νi∈L(0,Te;B0)，i∈?，序列{νi}i∈?在空间L(0,Te;B0)中弱收敛
这里的弱收敛存在空间LQTe。
引理8：B0是一个赋范线性空间并且紧嵌入另一个赋范线性空间B，B连续嵌入到一个Hausdorf局
()??ν?于ν，且?i?在空间L1(0,Te;B1)上有界，则νi在空间Lp(0,Te;B)内强收敛于ν。
??t?i∈?并且对于任意所给的1 gnLq((0,Te)×?)引理9：(0,Te)×?是一个在?+×?n上的开集，假设函数序列gn，函数g都在空间Lq((0,Te)×?)内， ≤C，gn→g，a.e.在(0,Te)×?内， 则函数序列gn在空间Lq((0,Te)×?)内弱收敛于g。 引理8是一般形式的Aubin-Lions引理，其证明详见文献[14]，引理9的证明在[15]。 引理10：存在与κ无关的常数C使得 κSx→Sx，a.e. in QTe， (60) κκsgnSxSx()xκκκ→Sx，Sxκ→Sx，a.e. in QTe， (61) 43sgnSx()Sκκ?Sx，Sxκκ?Sx，弱收敛于空间LQTe， (62) 43()sgn()κSxκ2Sxκ→SxSx，强收敛于空间L(0,Te;L2(?))。 (63) 4 3677 理论数学 证明我们应用引理8并选择p= DOI: 10.12677/pm.2024.107080 陈梅 =B0W1,43=B1H?2(?)， BL2(?)，(?)，=2κκκSx由(43)和(47)，我们发现sgnSx和sgn(Sx)Sxκκ()(2κt)是有界的，那么这些空间就完全满足引理8 ()2κκSx的前提条件。也就是说存在一个子序列，为了简洁，这里仍然用sgnSxκ来表示，在空间 L=(0,Te;B)L0,Te;L(?)中强收敛于一个极限函数G∈L0,Te;L2(?)。 p43(2)43()κκκκSxSx来表示，存在下述关系sgnSx实际上另一个子序列仍然用sgnSxκκ令fsgn(Sx)Sxκ())S2()2κ→SxSxa.e.在QTe内。 (κ)=sgn(S)Sxκxκκ2，利用映射y→f(y):=yy，有一个连续的逆映射f?1:?→?，我们 xκ可以推论f?1sgn(Sx)Sxκκ敛。我们借助Sx(2κ)=sgn(S43κxκκκ在QTe内几乎处处收敛。由此，可以得到序列Sx几乎处处收 2κ的定义，可以看到=(Sxκ)(()κκsgnSxSxκ)2κκκ。=limκ→0sgnSxSx?κ2。即limκ→0Sxκ()κ至此，Sx在QTe内几乎处处收敛得证。 由引理9和 κκ联结(59)和文中设定的关系式=Sxsgn(Sx)SxκκκSx(60)-(61)立即可以得到证明。关系式(61)和极限的唯一性意味着(63)。?SxinLQTe， κκκ再应用引理9，我们立即得到(62)。 ≤Sx+κ≤Sx+1， ()证明定理1：根据(59)，我们可以给定一个子序列Sκ和相应的极限函数，用Sκ来表示定理2中方程(19)~(21)所构造的解序列。下面我们将证明S是(8)~(10)的弱解。 引理5和(59)立即可以得到(11)。(13)中的第二项由(59)可得。(14)中的第二项可由(44)和(61)可得。(14)中的第一项是(43)和(63)的一个结论。为了证明(13)中的第一项，我们选择φ∈L40,Te,W1,4(?)并且用(55)中定义的?φx和St?fκ做内积，在时间和空间上积分，可得 κ{}{}()0=((Stκ?fκ,?φx))QTe=∫QTeκStxφd(τ,x)+(fκ,φx)Q, Te注意到引理2-5，我们得到 ∫Qκ即Sxt4?4??1,L3?0,Te;W3(?)???????Teκφd(τ,x)≤fκStx4L3QTe()φxL4QTe()≤CφL4(0,Te;W1,4(?)), ≤C。联结此式和(59)，第一项立即可得。 为了证明(12)，我们研究下面的收敛关系 (S0κ)(S,φ),φ(0)κ?→(S0,φ(0))?, (64) →(S,φt)Q, (65) TetQTe?1?x?Sκ??∫0yκdy,φx?→?SxSx,φx?, (66) ??QTe?2?QTe(ψ(S)SSxκxκκ,φ)QTe→(ψSSx,φ)Q, (67) Te当κ→0。(64)和(65)由(40)和(59)可得。为了证明(66) ∫0 Sκx11?SκxκκdsgnSxyκdy?SxS=yy?Sxx?∫0κ22?()2κ?1κκ?+sgnSxSx?2(()2κ?SxSx, )上式中右边的第二项由(63)立即可得： DOI: 10.12677/pm.2024.107080 678 理论数学 陈梅 1κκsgnSxSx2(()2κ?SxSx)4L3(0,Te;L(?))2→0 当κ→0。对于第一项我们有 1?Sκxκκ2??yySSdsgnxxκ??∫0κ2??()1?Sκxκ=?∫0yκdy?sgnSx2?1?Sκxκ≤?∫yκdy?sgnSx2?0≤∫Sκx0()((S)xκ2?+κ2??)()()κSx2?1κ2?+sgnSxκ?2 ()κ+Cκyκ?ydy+Cκ≤κSxκκSx联结(34)，我们立即得到(66)。由引理2和引理5得到ψSSx()κL2QTe()≤C，再联结引理9和(60)~(61)， (67)立即可得。至此，(12)证明结束。 参考文献 [1] Allen, S.M. and Cahn, J.W. 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一类相变模型的弱解存在性的研究 - 图文
