Pure Mathematics 理论数学, 2024, 10(7), 666-679
Published Online July 2024 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2024.107080
Existence of Weak Solutions for a Class of Phase Field Models
Mei Chen
Materials Genome Institute, Shanghai University, Shanghai
Received: Jun. 30, 2024; accepted: Jul. 22, 2024; published: Jul. 29, 2024
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Abstract
We shall investigate a phase-field model with a non-conserved order parameter which is under Neumann boundary conditions and omitting the effect of elasticity. By introducing a parameter κ to construct a modified model, and then using Banach’s fixed point Theorem, Aubin-Lions lemma and a series of a-priori estimates, the existence of global weak solutions to the model is finally obtained.
Keywords
Existence of Weak Solutions, Order Parameter, Banach’s Fixed Point Theorem
一类相变模型的弱解存在性的研究
陈 梅
上海大学，材料基因组工程研究院，上海
收稿日期：2024年6月30日；录用日期：2024年7月22日；发布日期：2024年7月29日
摘 要
本文在忽略弹性效应的情况下，研究了一类Neumann边界条件下的序参数不守恒的相场模型。通过引入一个参数κ构造一个修正模型，然后借助巴拿赫不动点定理、Aubin-Lions引理和一系列先验估计，最终得到该模型弱解的整体存在性。
关键词
弱解的存在性，序参数，巴拿赫不动点定理
文章引用: 陈梅. 一类相变模型的弱解存在性的研究[J]. 理论数学, 2024, 10(7): 666-679. DOI: 10.12677/pm.2024.107080
陈梅
Copyright ? 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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Open Access 1. 引言
相场模型是一门非常年轻的学科，自问世以来，就对材料的发展做出了巨大的贡献，如经典的原子扩散模型：Allen-Cahn模型和Cahn-Hilliard模型，前者起始于1979年，可用于研究反向畴粗化[1]，不可压缩流体[2]等，后者起始于1958年，用于研究生物种群和图像的修复[3] [4]等。而2006年和2007年，Zhu和Alber提出了一类由构型力驱动的固固相变模型，这是一类更加适合于陶瓷烧结和马氏体相变的模型。关于Alber-Zhu模型的研究结果见[5]-[11]。
为了引入本文的模型，我们先给出一些符号约定，满足(1)~(3)的未知量T(t,x)是一个3×3的对称矩阵，称为柯西张力。并且方程中出现的u(t,x)称为位移，属于?3空间。
?divxT(t,x)=b(t,x) (1)
T(t,x)Dε(?xu(t,x))?εS(t,x) (2) =St(t,x)=?cψSε(?xu(t,x)),S(t,x)?ν?xS(t,x)?xS(t,x) (3)
()(())=u0,(t,x)∈[0,∞)×??, (4) (t,x)γ(t,x),S=x(t,x)=S(0,x)S0(x),x∈?. (5)
可以看出这是一个纽曼初边值条件的椭圆–抛物耦合方程组，下面对方程中出现的其他参数进行说明。
1T?xu+(?xu)。错配应变ε∈S3是一个给定的矩阵。弹性张量：S3S3是一个线性的对称正定2映射。总能量为
?xu(t,x)是u的一阶微分，?3空间下，这是一个3×3梯度矩阵，(?xu)是其转置矩阵。应力张量：
Tε(=?xu)()ψ*(ε,S)(t,x)=ψ(ε,S)+,S)其中自由能是ψ(ε=ν2?xS(t,x).
21?(S)，ψ?∈C2(?,[0,∞))是双势阱函数，ψS是关于S的D(ε?εS))?(ε?εS)+ψ(2偏导数。两个矩阵的标量积是：A?B=∑aijbij。c和ν都是正常数，且ν与界面厚度成正比。体积力
b:[0,∞)×?→?3。数据γ:[0,∞)×??3，S0:?→?。
对于这个含有弹性效应和固固相变效应的模型，我们将对其进行适当的简化。首先本文忽视弹性效应，令柯西张力T=0，得到：
ψS=?1?D(ε)?(ε?εS)+D(ε?εS)?(ε))+ψ(2
?S=?S=?S,=?D(ε?εS)?(ε)+ψ?T?(ε)+ψψ2?记为ψ，并选取 的出现，本文中将双势肼函数ψ?(S)+t,x)ψ则总能量表示为ψ*(S,Sx)(=νSx(t,x)。为了在使用压缩映射原理的过程中，减少记号
2ψ=(S)S2(1?S) (6)
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至此，本文所要研究的一维纽曼初边值问题的总能量可记为：
ψ*(S,Sx)(=t,x)ψ(S)+研究的初边值问题如下所示：
ν2Sx(t,x). (7)
2St=?c(ψS(S)?νSxx)Sx,(t,x)∈(0,Te)×? (8)
=Sx0,(t,x)∈(0,Te)×??, (9)
S(0,x)=S0(x),x∈?, (10)
本文研究的Alber-Zhu模型弱解定义和主要结论如下：
∞定义1：假设S0∈L(?)，函数
S∈L∞0,Te;H1(?) (11)
∞是问题(8)-(10)的弱解，对于任意的φ∈C0()((?∞,T);C(?))，有
e∞Te?(S,φt)Q=?c(ψSSx,φ)Q?Tecν(SxSx,φx)QTe+(S0,φ(0))? (12) 2成立。
1定理1：假设S0∈H(?)，存在满足问题(8)-(10)的弱解，不仅满足式(11)，而且满足
44?1,??33 (13) Sxt∈L?(?)??0,Te;W?,St∈LQTe??43()(SxSx)x∈L(QT)，Se43x∈L0,Te;Lq(?)任意1 83()对于修正模型，主要结论和弱解定义如下： 1定义2：假设S0∈L(?)，函数 S∈L∞0,Te;H1(?) (15) ∞是问题(19)-(21)的弱解，对于任意的φ∈C0()?(S,φt)Q=?c(ψSSxκTe((?∞,T);C(?))，有 ,φ)?cν(∫ydy,φ)+(S,φ(0))e∞SxQTe0κxQTe0? (16) 成立。 1定理2：假设S0∈H(?)，存在满足问题(19)-(21)的弱解，不仅满足式(15)，而且满足 Sx∈L∞0,Te;L2(?) (17) 和 ()Sxx∈L0,Te;L(?),St∈LQTe. (18) ∞(2)43()本文共有2节，第2.1中，我们从Alber-Zhu模型的退化性入手，通过小参数κ构造一个修正的模型，借助于巴拿赫不动点原理得到该非退化模型的弱解存在性并证明了定理2。第2.2节中给出了与κ无关的先验估计，该部分参考了我的导师朱佩成教授在文献[12]中所使用的方法，但是因为模型和κ的表达的不同，细节方面仍然有所区别。第2.3节中，由Aubin-Lions引理得到近似解的紧致性，因此证明原问题弱解的存在性并证明了定理1。 DOI: 10.12677/pm.2024.107080 668 理论数学 陈梅 2. 一类固固相变模型的弱解存在性 2.1. 修正模型的局部解存在性 引入Sxκ=Sx+κ2，其中1≥κ>0，这样我们就可以得到一个修正后的方程组，如下所示 St=?c(ψS(S)?νSxx)Sxκ，(t,x)∈(0,Te)×?, (19) 2Sx=0，(t,x)∈(0,Te)×??, (20) S(0,x)=S0(x)，x∈?. (21) 这是一类非退化的抛物型方程，首先借助截断因子η对Sxκ截断，再对其磨光，由于 ?f≤∫QTe?f(t?τ,x?y)ρη(τ,y)d(τ,y)，得到(Sx)η∈L∞QTe。截断磨光后的方程(19)表示如下： κ()??St?cνSxx(Sx)η=?cψS(S)(Sx)η，(t,x)∈(0,Te)×?, (22) κκ下面我们使用巴拿赫压缩映射原理证明该修正模型的弱解存在性。 定理3：设T是适当小的正数，对于(23)和(20)-(21)，我们有S∈X， 44??????122∞33X=?S|S∈L0,T;H(?)?L0,T;H(?),St∈L?0,T;L?()????. ??????()()?证明1.对于(22)中的(Sx)η，给定一个函数S?∈X。为了简化计算过程，用F∈L∞QTe表示 κ()?，则(22)可改写成如下形式 S?(())xηκSt?FSxx=?FψS(S)，(t,x)∈(0,Te)×?, (23) ?∈X。 对于(23)中的ψS(S)，给定一个函数S?，(t,x)∈(0,T)×?. (24) St?FSxx=?FψS?Se根据[13]中的抛物程方程解存在性。可以知道(24)在(20)-(21)的初边值条件下的解也属于X。这里我 ???们定义一个映射A:X→X，即A??S?=S。当S∈X，我们得到了S∈X，所以我们说映射A是封闭的。 2.下面我们证明，当T>0足够小时，映射A是紧压缩的。 ?，S?时，就可以得到S1和S2，Step1.根据上文中关于映射A的定义，当我们从X中选择两个函数S12()?????这两个新的函数即满足S1=A?=S1?S2，得到了一个新?S1?，S2=A?S2?，也满足(20)-(21)和(24)。令W的线性的偏微分方程组。 Wt?FWxx=?FψS??ψS?1(2)，(t,x)∈(0,T)×?, (25) eWx=0，(t,x)∈(0,Te)×??, (26) W(0,x)=0，x∈?. (27) Step2.用W与(25)做内积可得 (Wt,W)+(?FWxx,W)=考虑边值条件(26)，以及F和κ的关系，我们有 DOI: 10.12677/pm.2024.107080 (?F(ψ?S1?ψS?,W, 2))669 理论数学 陈梅 1dW2dtW2L∞2L2(?)+κWx2L2(?)≤?C∫ψS??ψS?Wdx, ?12()上式关于时间t积分，再根据H?lder不等式和索伯列夫嵌入定理，得到 (0,T;L(?)2)+κ∫Wx0T2L2(?)dτ≤C∫≤CεQTe(?(ψ?S11?S1?ψS?22))Wd(τ,x)2L2(QT)(?(ψ1?ψS?22))+εW2∞2L2(QT)T ≤CεψS??ψS?≤CεψS??ψS?L2(QT)2+εW+εWdτL(0,T;L(?))∫0222L(QT)2L∞0,T;L2(?)()对于上面不等式右边的ε，取足够小使得C?ε>0，再带入(6)定义的双势肼函数，从而有 W2L∞(0,T;L(?))21+C∫Wx022T2L2(?)dτ≤CεψS??ψS?L2(QT)2L2(QT)??3?6S?2+2S??4S?3+6S?2?2S≤Cε4S111222≤Cε 2L2(QT)(??S?S122)((?2+S?S??2??S112+S2?6S1?6S2+2)??S?≤CS12整理上述不等式，得到 L∞0,T;L2(?))∫0T??S?dτ≤CTS122L∞0,T;L2(?)(). (28) WL∞0,T;L2(?)(??)+WxL2(0,T;L2(?))≤(CT)S1?S212L∞0,T;L2(?)()Step3.将(25)与?Wxx做内积，有 (Wt,?Wxx)+(?FWxx,?Wxx)=对x积分，再由于F的特点，可得 (?F(ψ(?S1?ψS?,?Wxx, 2))dWxdt?2L2(?)+κWxx22L2(?)≤C∫ψS??ψS?Wxxd=xC∫WxψS??ψS?1()?21)dxx?dψS??S???dψS?2?S121?C∫??Wdx????x??x?xSSdd21???dψS???S??S???dψS?dψS???S?? 221211?Wxdx?+??=∫????????x?x??dS????x??dSdS??2?21???dψS???S??S???22??S??S1ψ′′′(ξ)Wdx=∫?1?Wxdx+∫S?x21?????x?x??xdS?2???S?????S?S211??Wxdx+CS2?S12WxL2(?)≤∫??????x?x?L(?)?x∞??L(?)() DOI: 10.12677/pm.2024.107080 670 理论数学
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