数学名师刘老师
15. 解：第1列最多可以搬走9个小正方体； 第2列最多可以搬走8个小正方体； 第3列最多可以搬走3个小正方体； 第4列最多可以搬走5个小正方体； 第5列最多可以搬走2个小正方体． 9+8+3+5+2=27个． 故最多可以搬走27个小正方体． 故答案为：27． 16. ∵△BCE沿折痕EC向上翻折，点F恰好落在AD边上， ∴EF=EB，CF=CB， 设BE=5x，则AE=3x，AB=CD=8x， 2在Rt△AEF中，AF=(5x)2－(3x)=4x， 设BC=t，则CF=AD=t， ∴DF=t-4x， 在Rt△DFC中，t2=（t-4x）2+（8x）2，解得t=10x， 在Rt△BCE中，（5x）2+（10x）2=（155）2，解得x=3， ∴AB=8x=24，BC=10x=30. 17. 证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，
∵BM⊥AC，而ME=MC， ∴BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE， ∵ AB= BD， ∴∠ADB=∠BAD， 而∠ADB=∠BCE， ∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°， ∴∠BEA=∠BCD， 而∠BAE=∠BDC， 所以△ABE≌△DBC， ∴AE=CD， ∴AM=DC+CM．
18. 解：（1）以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系。 当电缆最低点离水平地面距离为6米时，抛物线的顶点坐标为（40，6）
1
此时，抛物线的解析式为y＝ (x－40) 2＋6
100令x=0则y=22
∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度。 （2）①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系。
1
设此时抛物线解析式为y＝ x2＋bx＋c
1003
易知：E（0,20）F（50,30），代入解析式可求得b＝－，c＝20.
10∴ y＝
123
x－x＋20 10010
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1
易求得斜坡所在直线的解析式为：y=x
5
设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于N。
1311
则：MN= m2－m＋20－m＝ (m－25) 2＋13.75
100105100∴ 当m=25时，MN的最小值为13．75
即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13．75米。 ②22米
19.解：（1）令y=0，则-x-1=0，解得x=-1， 所以，点A的坐标为（-1，0）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵B（3，0），C（0，-3）在抛物线上， ???a－b＋c＝0，?a＝1，∴?9a＋3b＋c＝0，，解得?b＝－2，， ?c＝－3；?c＝－3；??所以，抛物线解析式为y=x2-2x-3； （2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点， ∴设点P（x，-x-1），则点E的坐标为（x，x2-2x-3）， 19PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x-1-x2+2x+3=-x2+x+2，=-（x-）2+， 24?y＝－x－1，?x1＝－1，?x2＝2，?联立?，解得，?， 2?y＝x－2x－3?y1＝0?y2＝－3所以，点D的坐标为（2，-3）， ∵P是线段AD上的一个动点，∴-1＜x＜2， 19∴当x=时，PE有最大值，最大值为； 24（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴点F的坐标为（1，-4），点G的横坐标为1，y=-1-1=-2， ∴点G的坐标为（-1，-2），∴GF=-2-（-4）=-2+4=2， ∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE=GF， ∴-x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去）， 此时，y=-1，∴点P的坐标为（0，-1）， 故，存在点P（0，-1），使得四边形GFEP为平行四边形； （4）存在．理由如下： ①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上， ∴HD∥AQ， ∴点H的纵坐标与点D相同，是-3， 此时，x2-2x-3=-3， 整理得，x2-2x=0， 解得x1=0，x2=2（舍去）， ∴HD=2-0=2， ∵点A的坐标为（-1，0）， -1-2=-3，-1+2=1， ∴点Q的坐标为（-3，0）或（1，0）； ②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离， ∵点D的纵坐标为-3，
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∴点H的纵坐标为3， ∴x2-2x-3=3， 整理得，x2-2x-6=0， 解得x1=1-7，x2=1+7， ∵点A的横坐标为-1，点D的横坐标为2， 2-（-1）=2+1=3， 根据平行四边形的性质，1-7+3=4-7，1+7+3=4+7， ∴点Q的坐标为（4-7，0）或（4+7，0）， 综上所述，存在点Q（-3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形． 20.解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少． 设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]， 3×(33－x)(34－x)3y×(y＋1)(x－y－2)×(x－y－1)=++， 222=2x2-（y+102）x+2y2+3y+1684， y＋10221=2（x-）+（15y2-180y+3068）， 48y＋102215=2（x-）+（y-6）2+316≥316． 48又当x=27，y=6时，s=316， 故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．
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浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案
