【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第
一节数列的概念与简单表示法
第五章
数列
近三年广东高考中对本章考点考查的情况 2024-2024学年高考数学总复习 基础知识 第五章 第一节题号 分值 数列的概念与简单表示法 理 年份 11 5 所考查的知识点 等差数列的前n项和及项数问题 由含参的数列的递推公式2011 (转化为等差、等比数列)求20 14 数列的通项公式、不等式的证明等 11 5 等差数列的通项公式 2012 Sn与an的关系、等差中项、19 14 不等式的证明等 12 5 等差数列的通项公式 2013 Sn与an的关系、通项公式、19 14 裂项求和、放缩法 本章内容主要包括：数列的概念与性质，等差数列和等比数列的通项公式、求和公式以及数列的综合应用．
1．在复习数列的概念时，应注意：
(1)数列是以正整数为自变量的一类特殊函数；(2)并不是所有的数列都能用通项公式表示，有的数列的通项公式不是唯一的；(3)运用递推关系求数列通项公式时，可用特殊到一般的
??S1，n＝1，
方法找出规律，也可将数列转化为等差或等比数列求解；(4)在an＝?中，
?Sn－Sn－1，n≥2?
要特别注意n＝1的情况．
3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意
q＝1和q≠1两种情况等．
4．等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外．如an与Sn的转化，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习时，要及时总结归纳．
5.深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．切实抓好两个“特殊数列”的通项公式和前n项和公式的推导过程及方法．
6．解题要善于总结基本数学方法．如迭代法、逐差(积)求和(商)法、裂项相消法、观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法等，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果．
第一节 数列的概念与简单表示法
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
二、通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做
*
这个数列的通项公式，即an＝f(n)．数列的实质是定义域为正整数集N(或N*的有限子集{1,2,3，…，n})的函数．通项公式an＝f(n)即为函数的解析式．其中项数n相当于自变量，项an相当于函数值．
三、递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2，…)，那么这个式子就叫做数列{an}的递推公式．如数列{an}中，a1＝1，an＝1＋2an－1，其中式子an＝1＋2an－1就是数列{an}的递推公式．
四、数列的表示
1．列举法：如1,3,5,7,9，… 2．图解法：由(n，an)点构成．
3．解析法：用通项公式an＝f(n)表示，如an＝2n＋1.
4．递推法：用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1＝1，an＝1＋2an－1.
五、数列分类
有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列．
六、数列{an}的前n项和Sn Sn＝a1＋a2＋…＋an.
注：前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝g(n)也为n的函数． 七、数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系
??S1，n＝1，an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
注：如果求出的a1也满足n≥2时的an，则可统一写成同一个关系式，否则分段书写．
八、数列中最大、最小项的求法
???an≥an＋1，?an≤an＋1，?若an最大，则若an最小，则?考虑数列的单调性． ?an≥an－1；?an≤an－1，??
1．(2012·江门市一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，若它的第k项满足2 A．2 B．3 C．4 D．5 解析：ak＝Sk－Sk－1＝k2－3k－[(k－1)2－3(k－1)]＝2k－4，依题意有2<2k－4<5，得k＝4.故选C. 答案：C 2．(2012·天津一中月考)已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 014＝( ) A．1 B．－4 C．4 D．－1 解析：逐项计算可知，{an}是周期为6的周期数列，前6项分别是1,5,4，－1，－5，－4，所以a2 014＝a2 010＋4＝a4＝－1.故选D. 答案：D － 3．(2012·温州中学月考)已知数列{an}中，a1＝4，an＝4n1an－1(n>1，n∈N)，则通项公式为________． 解析：由an＝4n－1an－1可得a2＝4a1，a3＝42a2，a4＝43a3，…，an＝4n－1an－1， 上述n－1个等式相乘，得an＝41＋2＋答案：2n2－n＋2 4．(2012·浙江高考参考样卷)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－ 1(n≥2)，则Sn＝________. 1111 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得Sn－Sn－1＝－SnSn－1，即－＝1，又∵＝＝1， SnSn－1S1a1 ?1?111 ∴?S?是以＝1为首项，公差d＝1的等差数列．∴＝＋(n－1)×1＝n. S1SnS1??1∴Sn＝. n1 答案： n … ＋(n－1)a1＝2n2－n＋2. ?品味高考 1．(2012·浙江卷)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4 ＝3a4＋2，则q＝________. 解析：将S4＝3a4＋2，S2＝3a2＋2两个相减，得a4＋a3＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2 3 ＝0，根据等比数列的通项公式化简得，2q2－q－3＝0，解之得：q＝(舍去q＝－1)． 2 3 答案： 2 2?n?? ?2．(2011·浙江卷)若数列?n?n＋4???3?中的最大项是第k项，则k＝________. ? ? 解析：最大项为第k项，则有 ? ??2?≥?k－1??k＋3??2?k?k＋4???3??3?k 2 ??k≥10，∴? 2 ?k－2k－9≤0.? 2??k≥10，∴? ?1－10≤k≤1＋10.? 2?k ?2?k＋1，k?k＋4??≥?k＋1??k＋5??3??3? k－1 ， 又∵k∈N*，∴k＝4. 答案：4 ?高考预测 1．(2012·济南市月考) 已知数列{an}满足a1＝36，an＋1＝an＋2n, 则( ) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：∵ an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋36＝n(n－1)＋36， ann2－n＋3636∴＝＝n＋－1≥2nnn答案：B 36n·－1＝11.故选B. n an 的最小值为n 1 2．(2012·粤西北九校联考改编)在数列{an}中，a1＝，Sn为数列{an}的前n项和且Sn 3 ＝n(2n－1)an，则an＝________. 解析：∵Sn＝n(2n－1)an，Sn－1＝(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)，两式相减得(2n＋1)an＝(2n 11 －3)an－1(n≥2)，由累乘方可得an＝，而a1＝也满足上式． 34n2－1答案： 1 4n2－1
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