右两支于点M，N，连接MF1，NF1，若的离心率为 解：若
．
，且
m，
，且，则双曲线
，可得△MNF1为等腰直角三角形，
设|MF1|＝|NF1|＝m，则|MN|＝
由|MF1|﹣|MF2|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a， 两式相加可得|NF2|﹣|MF2|＝|MN|＝4a， 即有m＝2
a，
在直角三角形HF1F2中可得 4c2＝4a2+（2a+2化为c2＝3a2， 即e＝＝故答案为：
． ．
a﹣2a）2，
16．已知椭圆的方程为：若存在锐角θ，使乘积为 ﹣ ．
+＝1，A，B，M是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），+sinθ?
，（O为坐标原点）则直线OA，OB的斜率
＝cosθ?
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为y1cosθ+y2sinθ）
＝cosθ?+sinθ?，可得M（x1cosθ+x2sinθ，
因为M点在该椭圆上， ∴
+
＝1 可得
（
+y12）
+（+y22）+2（+y1y2）cosθ?sinθ＝1，*
又因为A、B点在也该椭圆上， ∴
（
）＝1，①
（）＝1，②
将①②代入*中可得注意cosθsinθ≠0， 所以（即
）cosθ?sinθ＝0， ＝0，
所以OA，OB的斜率乘积＝＝﹣，
即直线OA、OB的斜率乘积为故答案为：﹣ 三、解答题 17．已知f（x）＝
．
，
（1）证明：f（0）+f（1）＝
（2）分别求f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）；
（3）试根据（1）（2）的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论． 解：（1）证明：∵f（x）＝
．
∴f（0）+f（1）＝+＝+＝＝．
（2）f（﹣1）+f（2）＝+＝+＝，
f（﹣2）+f（3）＝+＝+＝．
（3）由（1）（2）猜想一般结论是：f（﹣x）+f（1+x）＝．
证明如下：f（﹣x）+f（1+x）＝+＝+＝
．
18．在公差为d的等差数列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d． （1）求{an}的通项公式；
（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列
的前n项和Sn．
解：（1）公差为d的等差数列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d， 可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，
则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或an＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*； （2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42， 即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d， 由（1）可得a1＝3，d＝2， 则an＝2n+1，
＝
＝（
﹣
）， ﹣
）
可得前n项和Sn＝（﹣+﹣+…+＝（﹣
）＝
．
19．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．
（Ⅰ）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S12、S22，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（Ⅱ）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．
解：（Ⅰ）由题意知解得x＝5，y＝6． 乙班学生的平均数＝
，
＝83，
S12＝[（74﹣83）2+（82﹣83）2+（84﹣83）2+（85﹣83）2+（90﹣83）2]＝27.2， S22＝[（73﹣83）2+（75﹣83）2+（86﹣83）2+（90﹣83）2+（91﹣83）2]＝57.2， ∵甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小， ∴应该选派甲班的学生参加决赛．
（Ⅱ）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名， 随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率： P＝1﹣
＝0.7．
，AD＝CD＝1，
20．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD．PA＝AB＝BC＝
∠ADC＝120°．点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上且PN＝PB． （1）证明：MN∥平面PDC；
（2）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值； （3）求二面角A﹣PC﹣D的正切值．
解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点， ∴AC＝
＝
，
，
∴在正三角形ABC中，BM＝＝，
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC， ∴AD＝CD，又∠CDA＝120°，
∴DM＝＝，∴＝＝．
∵点N在线段PB上，且PN＝PB．∴MN∥PD， ∵MN?平面PDC，PD?平面PDC， ∴MN∥平面PDC．
（2）解：∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴AB⊥AD，
分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， ∴B（
，0，0），C（
，，0），A（0，0，0），P（0，0，
），N（
，0，
），M（＝（0，0，
，，0）， ），
＝（
，，0），
设平面PAC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，﹣1，0），
＝（0，﹣，），
设直线MN与平面PAC所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
故直线MN与平面PAC所成角的正弦值为． （3）解：平面APC的法向量＝（D（0，1，0），
＝（
，﹣
，﹣1，0）， ），
＝（0，1，﹣
），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
2024-2024学年人教A版四川省南充高中高二第二学期（3月份）第一次月考（理科）数学试卷 含解析
