则x3＜﹣8或x3＞8．
即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件． 故选：A． 5．已知椭圆程是（ ） A．x＝±
B．y＝
C．x＝
D．y＝
和双曲线
有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方
解：∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2＝2m2+3n2，整理得m2＝8n2， ∴＝2
双曲线的渐近线方程为y＝±故选：D． 6．设点P是椭圆
＝±x
F1，F2是椭圆的两个焦点，＝1（a＞2）上的一点，若|F1F2|＝4，
则|PF1|+|PF2|＝（ ） A．4
解：∵点P是椭圆4∴
，
+4＝16?a＝4， B．8
C．4
D．4
＝1（a＞2）上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|＝
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝2×4＝8， 故选：B．
7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（ ） A．
B．1
C．
D．2
解：由抛物线定义，|PF|＝xP+1＝2，所以xP＝1，|yP|＝2， 所以，△PFO的面积S＝
|yP|＝
＝1．
故选：B．
8．已知点A（4，4）在抛物线C：y2＝2px上，O为坐标原点，点P是抛物线C准线上一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A．
B．2
C．
D．2
解：点A（4，4）在抛物线C：y2＝2px上，可得p＝2，准线方程为x＝﹣1， 坐标原点关于准线x＝﹣1的对称点的坐标为B（﹣2，0）， |PA|+|PO|＝|PA|+|PB|≥|BA|， 则|PA|+|PO|的最小值为|AB|＝故选：D．
9．已知平面α，β的法向量分别为若α∥β，则λ+μ的值为（ ） A．
B．﹣5
C．
D．5
（其中λ，μ∈R），（其中λ，μ∈R），
．
解：∵平面α，β的法向量分别为α∥β， ∴
，解得μ＝6，λ＝﹣1，
∴λ+μ＝﹣1+6＝5． 故选：D．
10．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，PA＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，
∴以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角
坐标系，
P（0，4，2），C（2，0，0），
A（0，4，0），B（0，0，0），D（0，2，1），1），
设异面直线PC，AD所成角为θ， 则cosθ＝|
|＝|
|＝
＝
＝（2，﹣4，﹣2），
＝（0，﹣2，
．
所以异面直线PC，AD所成角的余弦值为故选：D．
．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与点P到点M的距离的平方的差为1，在以AB、AD为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P的轨迹是（ ） A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线
Q为垂足，解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，作PQ⊥AD，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，
则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2﹣PQ2＝RQ2＝1．又已知 PR2﹣PM2＝1，∴PM＝PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线， 故选：B．
12．己知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x1，y1），
Q（﹣x1，﹣y1）在椭圆C上，其中x1＞0，y1＞0，若|PQ|＝2|OF2|，|圆C的离心率的取值范围为（ ） A．（0，
]
B．（0，
﹣2]
C．（
，
|，则椭
] D．（0，﹣1]
解：设PF1＝n，PF2＝m，由x1＞0，y1＞0，知m＜n， 因为P，Q 在椭圆C上，|PQ|＝2|OF2|， 所以四边形PF1QF2为矩形，QF1＝PF2； 由
，可得
＜1，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，n2+m2＝4c2①， 平方相减可得mn＝﹣（a2﹣c2）②， 由①②得
＝
＝
；
令t＝+， 令v＝所以t＝v+
，
，
即2，
所以a2﹣c2＜c2所以1﹣e2＜e2所以解得故选：C． 二、填空题
（a2﹣c2）， （1﹣e2）， ， ；
13．若复数z＝（1+i）m+（﹣2+i）为纯虚数（i为虚数单位），其中m∈R，则|z|＝ 3 ．解：∵z＝（1+i）m+（﹣2+i）＝（m﹣2）+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数， ∴
，
解得m＝2． ∴z＝3i， ∴|z|＝3． 故答案为：3．
14．圆x2+y2＝r2在点（x0，y0）处的切线方程为
，类似的，可以求得椭圆
在（2，1）处的切线方程为 ．
y0）解：圆x2+y2＝r2的方程，可写成x?x+y?y＝r2，在点（x0，处的切线方程为 ，
类似地，椭圆，可写成，在点（x0，y0）处的切线方程为
∴椭圆在（2，1）处的切线方程为
即
故答案为：
15．设F1，F2为双曲线（a＞0，b＞0）左，右焦点，过F2的直线交双曲线左，
2024-2024学年人教A版四川省南充高中高二第二学期（3月份）第一次月考（理科）数学试卷 含解析
