第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
A级·基础过关|固根基|
1.(2024届山西45校联考)“若a≥2或a≤－2，则a≥4”的否命题是( ) A．若a≤2，则a≤4 C．若－2 22 2 B．若a≥2，则a≤4 D．若a≥2，则a<4 2 2 解析：选C 将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若－2 2．(2024届山西祁县期末)已知命题p：若两直线没有公共点，则两直线异面．则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是 ( ) A．0 C．1 B．2 D．3 2 解析：选B ∵若两直线没有公共点，则两直线平行或异面，∴命题p为假命题，∴其逆否命题也为假命题；命题p的逆命题为“若两直线异面，则两直线没有公共点”，为真命题，∴原命题的否命题也为真命题，∴原命题的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是2.故选B. 3．(2024届武汉市高三质量监测)已知α，β是两个不重合的平面，直线a?α，p：a∥β， q：α∥β，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B 由平面平行的性质，显然q?p；若a?α，a∥β，则α，β可能平行、相交，p?/ q．故p是q的必要不充分条件，故选B. ?1?13 4．设x∈R，则“?x－?<”是“x<1”的( ) ?2?2 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ?1?133 解析：选A 由?x－?<，得0 ?2?2?1?13 所以“?x－?<”是“x<1”的充分不必要条件．故选A. ?2?2 5．(2024届湖北五校联考)已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 - 1 - 解析：选C 由直线l1与直线l2平行得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C. 6．(2024届南昌摸底调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 π 解析：选B 设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0， 2则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B. 7．(2024届吉林名校大联考三)下列说法正确的是( ) A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题是“若x＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x－x－2＝0”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题 π D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件 4 解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题“若x＝1，则x＝1”的否命题是“若 2 2 2 2 x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0?x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推 出“x－x－2＝0”，反之，由“x－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y能推出sin x＝sin y，即原命题是真π 命题，所以它的逆否命题是真命题，即C正确；由“x＝”能推出“tan x＝1”，但由“tan 4 2 2 2 x＝1”推不出“x＝”，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，即D不正确． 11 8．(2024届四川资阳一诊)已知a，b∈R，则“a＜b＜0”是“＞”的( ) π4π4 abA．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 11 解析：选A 由a＜b＜0可推出＞，反之不成立，故选A. ab9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0 答案：充要 10．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件． - 2 - 解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0?/ x＝－1且 y＝2，x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．对于原命题：“已知a，b，c∈R，若ac>bc，则a>b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________． 解析：原命题为真命题，故逆否命题为真； 逆命题：若a>b，则ac>bc为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 答案：2 12．直线x－y－k＝0与圆(x－1)＋y＝2有两个不同交点的充要条件是________． |1－0－k|22 解析：直线x－y－k＝0与圆(x－1)＋y＝2有两个不同交点等价于<2，解得 2－1 答案：k∈(－1，3) B级·素养提升|练能力| 13.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A．充分条件 C．充要条件 B．必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 2 2 2 2 2 解析：选B “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件． 14．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 C．a>b 2 2 B．a>b－1 D．a>b 3 3 解析：选A a>b＋1?a>b，但反之未必成立，故选A. 15．(2024届齐鲁名校调研)给出下列说法： π ①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题； 2②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x<－1，则x－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x＋y＝ π ，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x2 2 2 π3π3π＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题， 222 - 3 - ①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确． 答案：①②④ ??1x? 16．已知集合A＝?x?<2<8，x∈R?，B＝{x|－1 ??2? 分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ??1x? 解析：因为A＝?x?<2<8，x∈R?＝{x|－1 ??2? x∈A， 所以AB，所以m＋1>3，即m>2. 答案：(2，＋∞) - 4 -
2024版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件课时跟踪检测
