高中数学选修4-1《几何证明选讲》
----知识点总结
1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线
段成比例定理
2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线
段成比例。
3、相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形
对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：
4、相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。
1
5、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与三角形相似。
6、判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三
角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
7、判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角
形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
8、判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三
角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
9、引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段
成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
10、定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
11、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和
直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
12、相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的
2
平方。
13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上
射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
14、圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理
16、定理1：圆的内接四边形的对角互补。
17、定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
18、圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边
形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶
点共圆。圆的切线的性质及判定定理。
19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
20、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线。弦切角的性质
21、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线
3
段
22、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 23、割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等。
24、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项。
25、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。
4
数学4-1《几何证明选讲》知识点总结
