2024年
第2讲 不等式选讲
[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a. (2)|f(x)| (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 例1 (2024·乌鲁木齐模拟)设函数f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0. (1)当a＝3时，求不等式f(x)≥5x＋1的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 解 (1)当a＝3时，不等式f(x)≥5x＋1即为 |2x－3|＋5x≥5x＋1， ∴|2x－3|≥1， 解得x≥2或x≤1. ∴不等式的解集为{x|x≤1或x≥2}． (2)由f(x)≤0，得|2x－a|＋5x≤0， a??x≥，解得?2 ??7x－a≤0 又a>0， a??x<，或?2??3x＋a≤0， ???a∴不等式的解集为?x?x≤－ 3??? ?? ?， ?? 由题意得－＝－1， 3解得a＝3. 思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤 a 2024年 ①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 跟踪演练1 (2024·河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)若函数g(x)＝|2x－2 018－a|＋|2x－2 019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． ??1解 (1)依题意，得f(x)＝?x＋2，－ 2 ??3x，x≥1. 1??x≤－，2由f(x)≤3，得???－3x≤3解得－1≤x≤1. 即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}. 1 －3x，x≤－， 2 1??－ ??x≥1， 或???3x≤3， ?1?3 (2)由(1)知，f(x)min＝f?－?＝， ?2?2 g(x)＝|2x－2 018－a|＋|2x－2 019| ≥|2x－2 018－a－2x＋2 019|＝|a－1|， 3 则|a－1|≤， 215解得－≤a≤， 22 ?15?即实数a的取值范围为?－，?. ?22? 热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 例2 (2024·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋3|. (1)解不等式f(x)<2x＋10； (2)若不等式f(x)≤m|x＋2|有解，求m的取值范围． 2024年 ??3解 (1)f(x)＝?x＋2，－ 2 ??3x＋4，x≥－1， 由f(x)<2x＋10， 3??x≤－，2得???－3x－4<2x＋10 ??x≥－1，或???3x＋4<2x＋10， 3 －3x－4，x≤－，2 3??－ ?14?得x∈?－，6?. ?5? (2)①若x＝－2，显然无解； |x＋1|＋|2x＋3|②若x≠－2，则m≥， |x＋2| 3|x＋1|＋|2x＋3||?2x＋3?－?x＋1?|??令g(x)＝≥＝1?当且仅当－≤x≤－1时等号成立?， 2|x＋2||x＋2|??∴m≥1.即m的取值范围是[1，＋∞)． 思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式． (2)转化最值：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x) f(x)min (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论． 跟踪演练2 (2024·上饶模拟)已知函数f(x)＝|3x－1|＋|3x＋k|，g(x)＝x＋4. (1)当k＝－3时，求不等式f(x)≥4的解集； ?k1?(2)设k>－1，且当x∈?－，?时，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围． ?33? 解 (1)当k＝－3时，f(x)＝|3x－1|＋|3x－3| ??＝?1 2，≤x≤1，3??6x－4，x>1， 1－6x＋4，x<，3 故不等式f(x)≥4可化为 2024年 ??x>1，? ?6x－4≥4? 1??≤x≤1， 或?3??2≥4 1??x<，或?3??－6x＋4≥4， 4 解得x≤0或x≥， 3 ???4 ∴所求不等式的解集为?x?x≤0或x≥ 3??? ?? ?. ?? ?k1?(2)当x∈?－，?时， ?33? 由k>－1，得3x－1<0,3x＋k≥0，∴f(x)＝1＋k， 不等式f(x)≤g(x)可变形为1＋k≤x＋4， k?k1?故k≤x＋3对x∈?－，?恒成立，即k≤－＋3， 3?33? 9 解得k≤， 4 9 又k>－1，故－1 49??∴k的取值范围是?－1，?. 4??热点三 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2．算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，那么2 2 a＋b2 ≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，那么 a＋b＋c3 ≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 3 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 例3 (2024·山东省名校联盟模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|. (1)解不等式f(x)≤3； a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当 n|a＋1|－|2a－1|?3??3?(2)若g(x)＝?x＋?＋?x－?(x∈R)，求证：≤g(x)对?a∈R，且a≠0恒成立． |a|?2??2? 2024年 ?1?2－x，－1 3x，x≥，??2 于是由f(x)≤3， ??x≤－1， 得? ?－3x≤3? －3x，x≤－1， 1??－1 ??2－x≤3 1??x≥， 或?2??3x≤3， 解得－1≤x≤1， 即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． ?|a＋1|－|2a－1|?? |a|?? ??1??1??＝??1＋?－?2－??， ??a??a?? (2)证明 因为? ??1＋1?－?2－1??≤?1＋1＋2－1?＝3， ??a??a???aa??????????1??1?当且仅当?1＋??2－?≤0时取等号， ? a?? a? ?1??1?所以－3≤?1＋?－?2－?≤3， ? a?? a? 即－3≤ |a＋1|－|2a－1| |a| ≤3. 又因为当x∈R时， ?x＋3?＋?x－3?≥??x＋3?－?x－3??＝3， ?2??2???2??2?????????????3??3?当且仅当?x＋??x－?≤0时，等号成立． ?2??2? 故g(x)min＝3. 所以|a＋1|－|2a－1| |a| ≤g(x)对?a∈R，且a≠0恒成立． 思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧． 跟踪演练3 (2024·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集． (1)求集合M； (2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
2024高考数学二轮复习 专题七 系列4选讲 第2讲 不等式选讲学案 文
