第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
授课提示：对应学生用书第4页
[基础梳理]
1．四种命题
(1)四种命题及其相互关系
(2)互为逆否命题的真假判断： 互为逆否的两个命题同真或同假． 2．充分条件与必要条件的判断
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q ppp?q q且qp q且q?p p 1．区别两个说法
(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论． (2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论． 2．充要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
[四基自测]
1．(基础点：四种命题)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( ) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x≤y，则x2≤y2” C．“若x＞y，则x2＞y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” 答案：B
2．(基础点：充分、必要条件)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 答案：B
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．(易错点：命题与条件)“x≠y”是“x2≠y2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案：B
4．(易错点：充要条件)设函数f(x)＝sin x＋bcos x(b为常数“)b＝0”是f(x)为奇函数的________条件． 答案：充要
授课提示：对应学生用书第5页
考点一 四种命题及其关系
挖掘1 四种命题的真假判断/ 自主练透
[例1] (1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，假，真 C．真，真，假
B．假，假，真 D．假，假，假
[解析] 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．故选B. [答案] B
(2)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
[解析] A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，是真命题； B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题； C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题； D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题． [答案] A
[破题技法] 四种命题真假性的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． 挖掘2 判断命题的真假/ 互动探究
[例2] 关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述结论： π
①f(x)是偶函数；②若x∈(0，)，则f(x)为增函数；
2
③f(x)在[0，2π]上有3个零点，其中所有正确的结论是________． [解析] ①由f(－x)＝f(x)，恒成立，①正确． π
②当x∈(0，)时，f(x)＝2sin x为增函数，②正确．
2③当x∈(π，2π)时，|sin x|＝－sin x.
∴f(x)＝sin x－sin x＝0，有无数个零点，③错误． [答案] ①②
[破题技法] 判断命题真假的方法 方法 直接法 反例法 转化法 解读 判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明 说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 转化为等价的逆否命题 考点二 充分条件、必要条件的判断 挖掘1 充分、必要、充要条件的简单判定/ 自主练透
[例1] (1)(2024·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
[解析] 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B. [答案] B
适合题型 简单命题判断 简单命题判断 复杂命题 ?1?1
(2)(2024·高考天津卷)设x∈R，则“?x－?＜”是“x3＜1”的( )
?2?2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
?1?1111
[解析] 由?x－?＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
222?2?2
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所
?1?1
以“?x－?＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
?2?2
[答案] A
→→→→→
(3)(2024·高考北京卷)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB＋AC|＞|BC|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
→→→→
[解析] 因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC＝AC－AB，所以|AB＋
AC|＞|BC|等价于|AB＋AC|＞|AC－AB|，因模为正，故不等号两边平方得AB2＋AC2＋2|AB→→→→→→→
|·|AC|cos θ>AC2＋AB2－2|AC|·|AB|cos θ(θ为AB与AC的夹角)，整理得4|AB|·|AC|cos θ＞→→→
0，故cos θ＞0，既θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB→→
＋AC|＞|BC|”的充分必要条件．故选C. [答案] C
[破题技法] 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 充分条件与必要条件的两种判断方法见下表： 条件 定义法 集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} →→→→→→→
p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 p是q的充分不必要条件 p?q q?p p?q且q?p p?q且qppp A?B A?B A＝B AAAB B B p是q的必要不充分条件 q且q?p q且qp是q的既不充分也不必要条件 p B且A挖掘2 充分、必要、充要条件的证明与探求/ 互动探究 [例2] 证明：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件是a2＋b2＝r2. [证明] 充分性：若满足a2＋b2＝r2时，
则有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，表示原点(0，0)到圆心(a，b)的距离为r，即原点(0，0)在圆(x－
a)2＋(y－b)2＝r2上．
必要性：当圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过(0，0)时． 有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
∴a2＋b2＝r2是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点的充要条件． [破题技法] 充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________．
|1－0－k|
有两个不同交点等价于＜
2
2，解之得
解析：直线x－y－k＝0－1＜k＜3. 答案：－1＜k＜3
与圆(x－1)2＋y2＝2
考点三 充分条件、必要条件的应用
挖掘 根据条件关系求参数/ 互动探究
[例] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． [解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P. 1－m≤1＋m，??
则?1－m≥－2，所以0≤m≤3. ??1＋m≤10，
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]． [答案] [0，3]
[破题技法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由． 解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}． 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
???1－m＝－2，?m＝3，所以?所以?这样的m不存在．
???1＋m＝10，?m＝9，
2．本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解析：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}． 因为非P是非S的必要不充分条件， 所以P是S的充分不必要条件， 所以P?S且SP.
所以[－2，10][1－m，1＋m]．
??1－m≤－2，??1－m＜－2，所以?或?
1＋m＞101＋m≥10，????
2024届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件教师文档教案文
