14.如图所示，△ ABC为正三角形，CE丄平面 ABC, BD // CE,且 CE二AC=2BD , M 是 AE 的中点，求证： (1)DE=DA ；⑵平面BDM丄平面ECA; (3)平面 DEA丄平面ECA.
15.如图所示，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、 PC的
中点.
(1)求证：MN //平面 PAD; (2)求证：MN 丄CD; (3)若/ PDA=45 °
求证：MN丄平面PCD.
16.如图1,在正方体ABCD -ABGDi中，M为CCi的中点，AC交BD 于点0,求
证：AO —平面MBD
答案与提示：
A
1. 证明：（1）取BC中点0,连结AO, D0.
???△ ABC,A BCD都是边长为4的正三角形，\\.二^门 ??? A0丄BC, DO丄 BC,且 AOA D0 = 0,??? BC丄平面 AOD. 又 AD 平面 AOD,
? BC 丄 AD.
上；/
'
2. 【证明】作AH丄SB于H，丁平面SAB丄平面SBC .平面SAB A 平面SBC二SB,「. AH丄平面SBC,
又SA丄平面ABC ,? SA丄BC,而SA在平面SBC上的射影为 SB,「. BC丄 SB, 又 SA A SB=S,
? BC 丄平面 SAB . ? BC 丄 AB .
3. 【证明】PA丄平面ABCD , AD是PD在底面上的射影，
又T四边形 ABCD为矩形，二CD丄AD，二CD丄PD,v AD A PD=DA CD丄面PAD,：/ PDA为二面角P—CD— B的平面角，
T PA=PB=AD, PA丄 AD PDA=45。，取 Rt△ PAD 斜边 PD 的中点F,贝S AF丄PD,T AF 面PAD ? CD丄AF ,
又 PDA CD=D ? AF 丄平面 PCD, 取 PC 的中点 G,连 GF、AG、
1
丄
EG」GF 2 CD 又 AE 2 CD,
? GF AE ?四边形 AGEF为平行四边形? AF // EG,： EG丄 平面PDC又EG 平面PEC,
?平面PEC丄平面PCD.
(2)【解】由(1)知AF //平面PEC,平面PCD丄平面PEC, 过F作FH丄PC于H，贝卩FH丄平面PEC
二FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离.在 △ PFH与△ PCD中，/ P为公共角，
FH PF
而/ FHP= / CDP=90°,.」PFH PCD .A 而，设
AD=2，二 PF= 2 , PC二 PD CD「8 4 =2 3 ,
2
2
迢2 —晶 A FH=2.3 - 3 A A到平面PEC的距离为 T .
恵
4. 【证 明】 取 SA 的 中点 E , 连接EC, EB.
v SB=AB,SC=AC,
A SA丄 BE,SA 丄 CE.
又 v CE A BE=E,
A SA丄平面BCE. v BC 平面BCE
5. 证明：（1）因为SA二SC, D为AC的中点，
所以SD丄AC. 连接 BD.
在 RtAABC 中，有 AD=DC=DB ,
所以/ SDB= / SDA ,
所以△ SDBSDA ,
所以SD丄BD.
又AC A BD=D , 所以SD丄平面ABC.
（2）因为AB=BC , D是AC的中点， 所以BD丄AC.
又由（1）知SD丄BD , 所以BD垂直于平面SAC内
的两条相交直线,
所以BD丄平面SAC.
6.
证明：连结AC
BD_AC
AC为AiC在平面AC上的射影
BD_AC 「蚀\十
同理可证A,C_BG
…
H AiC丄平面BCiD
7. 证明：如右图，连接 上、二1、一二，则.
:丄-…-二，???―二为等腰三角形. 又知D为其底边以厂的中点，
￡G=1,葩］二①，
又3 I ,? V’
...為二 $.
T 一］为直角三角形，D为
3 的中点， ?「\，= =.
］ 迈
又酗二二體二丁，伽二 ,
... bCDM 里 .
.即 CD丄DM.
T二‘、一丄为平面BDM内两条相交直线，
丄平面BDM.
? CD
8. 证明：取AB的中点F，连结CF DF
?/ AC 二 BC，二 CF — AB . ?/ AD 二 BD，二 DF _ AB .
又 CFp|DF=F，二 AB_ 平面 CDF
CD
CDF
又 CD_BE , BEf^AB 二 B , 二CD丄平面ABE CD丄AH .
?/ AH_CD , AH _ BE , CD^BE 二 E ,
图2
E L)
AH _ 平面 BCD
9. 证明：如图，已知 PA二PB二PC二a,
由/ APB= / APC=60 ° ,△ PAC,A PAB 为正三角形, 贝卩有：PA=PB=PC=AB=AC=a, 取BC中点为E
直角△ BPC 中，厂-：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案
