专题四 立体几何第1讲 空间几何体
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．
2．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降________ cm.
3．棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为________．
4．(2020·福建)三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为________．
5．在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AN，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是________．
6．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．
7．(2020·辽宁改编)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S—ABC的体积为________．
8．将一个钢球置于由6根长度为6 m的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么这个钢球的最大体积为______ m.
9．如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60°，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到P的距离为________．
10．在四面体ABCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝5，AD＝BC＝13，则四面体的外接球的表面积为________．
11．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为________． 12．如图，已知三棱锥P—ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB，若P，A，B，C在一个表面积为12π的球面上，则△ABC的边长为______．
二、解答题
13．如图所示，一座底面是长方形的仓库，它的屋面是两个相同的矩形，它们互相垂直，如果仓库的长a＝13 m，宽b＝7.6 m，墙高h＝3.5 m，求仓库的容积．
14.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，
3
E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′
都与平面ABCD垂直．
(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面体ABCDEF的体积．
15．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图
所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．
答 案
5
1．16π 2. 3.2∶3 4.3
3
43π2
5．36π 6.2πa 7. 8. 9.3
3610．14π
1311.a 812．22
13．解 在五边形ABCED中，四边形ABCD为矩形，△CED为等腰直角三角形．
2
CD＝AB＝7.6，CE＝ED＝CD.
21122
∴S底＝7.6×3.5＋××7.6＝41.04 (m)，
22∴V＝Sh＝41.04×13＝533.52 (m.) 答 仓库的容积为533.52 m.
14．(1)证明 ∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A， ∴点E′在线段AD的垂直平分线上． 同理，点F′在线段BC的垂直平分线上． 又四边形ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线， 即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上． ∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
(2)解 如图，连结EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E－ABCD和正四面体E－BCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝3，∴EE′＝2.
1
∴VE－ABCD＝·S正方形ABCD·EE′
31422
＝×2×2＝. 33
1
又VE－BCF＝VC－BEF＝VC－BEA＝VE－ABC＝S△ABC·EE′
311222＝××2×2＝， 323
∴多面体ABCDEF的体积为VE－ABCD＋VE－BCF＝22. 15．解 如图所示，△ABE为题中的三角形，
3
3
由已知得AB＝2，BE＝2×
3
＝3， 2
BF＝BE＝
2323
， 3
44－＝ 3
8， 3
AF＝AB2－BF2＝
∴△ABE的面积为 1
S＝×BE×AF 21
＝×3× 2
8
＝2. 3
∴所求的三角形的面积为2.
[步步高]2020届高考数学二轮复习 专题四 第1讲空间几何体
