所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
3.5.2 简单线性规划
课堂探究
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为
ABz－C．这样，BABz－C，且随z变化的一组平行线．于B是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B>0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 线性目标函数的最值问题
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
??2y－x≤4，
【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x，y满足约束条件?x≥0，
??y≥0，
z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30 C．24 D．16 解析：画出可行域，如图．
x＋y≤8，
且
?x＋y＝8，?
联立?
??2y－x＝4，
解得?
?x＝4，???y＝4.
即A点坐标为(4，4)，
由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8， ∴a－b＝24．故选C． 答案：C
x≥1，??
(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a>0，x，y满足约束条件?x＋y≤3，
??y≥a(x－3).z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
11
A． B． C．1 D．2
42
??x≥1，解析：由题意作出?
?x＋y≤3?
若
所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
11
知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝．
22
答案：B
反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．
题型二 非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0，??
【例2】 已知?x＋y－4≥0，
??2x－y－5≤0，
2
2
求：
(1)z＝x＋y－10y＋25的最小值； 2y＋1
(2)z＝的取值范围．
x＋1
分析：(1)中z＝x＋y－10y＋25＝(x－0)＋(y－5)的几何意义为平面区域内的点(x，
2y＋1
＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)x＋1x－(－1)
2
2
2
2
y)到(0，5)的距离的平方；(2)z＝
y－?－?2
?1???
1??与?－1，－?连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合2??知识求解．
解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
(1)z＝x＋(y－5)表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝
|0－5＋2|1＋(－1)
＝2
32＝32
． 2
2
2
99222
所以|MN|＝，所以z＝x＋y－10y＋25的最小值为．
22
1??表示可行域内点(x，y)与定点Q?－1，－?连线斜率的2倍．
2?x－(－1)?
3
(2)z＝2·
y－?－?2
?1???
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
73?37?∵kQA＝，kQB＝，故z的取值范围是?，?． 48?42?
反思 (1)对形如z＝(x－a)＋(y－b)型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
2
2
?b?y－?－?ay＋ba?a?
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问
cx＋dcd??x－?－??c?
b?a?d题转化为求可行域内的点(x，y)与?－，－?连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不
?ca?
c存在的情况．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A＋B倍． 题型三 简单的线性规划问题
【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0．5元，米饭每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0．4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米饭y(百克)，
2
2
??4x＋7y≥10，
所需费用为z＝0．5x＋0．4y，且x，y满足?x≥0，
??y≥0，
作出可行域，如下图阴影部分所示．
6x＋3y≥8，
令z＝0，作直线l0：0．5x＋0．4y＝0，即直线5x＋4y＝0． 由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值．
??6x＋3y＝8，
由?
?4x＋7y＝10?
?1314?得A?，?．
?1515?
4
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
1314
答：每盒盒饭为面食百克，米饭百克时既科学又费用最少．
1515
反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等； (4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能的准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
题型四 最优整数解的问题
【例4】 (2013·湖北高考，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 36x＋60y≥900，
??x＋y≤21，
解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足?y－x≤7，
??x∈N，y∈N，
设租金为z，则z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C．
答案：C
反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．
题型五 易错辨析
【例5】 已知二次函数f(x)＝ax＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－
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放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！ 5
(新)高中数学第三章不等式3_5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3_5_2简单线性规划课堂探究学案新人教
