考点测试36 基本不等式
高考概览 考纲研读
一、基础小题
1．下列说法正确的是( ) A．若a，b∈R，则＋≥2 4
B．若x<0，则x＋≥－2高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 1.了解基本不等式的证明过程
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
baabxx·＝－4 x4
b2a2
C．若ab≠0，则＋≥a＋b
abD．若x<0，则2＋2>2 答案 D
4?4?解析 对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－?－x＋?≤－2－x?x?
4
－x·－xx－xb2
＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，＋
aa29x－x＝－
2．不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．(－2,0) C．(－2,1) 答案 C
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
2
abba??22
解析 根据题意，由于不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x＋x
abbaab?ba?
，因为＋≥2abbaab2
·＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x＋x<2，求解此一元二次不ba等式可知－2 12 3．已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为( ) 4mnA．4 B．22 9C． 2答案 C D．16 12?12?5n4m5 解析 由于m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)?＋?＝＋＋≥＋24mn?4mn?24mn2921 ＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C. 236 4．设x＞0，则函数y＝x＋A．0 C．1 答案 A 23?1?1解析 y＝x＋－＝?x＋?＋－2≥22x＋12?2?1 x＋2＝ 1 23 －的最小值为( ) 2x＋12 1B． 23D． 2 n4m·4mn?x＋1?·1－2＝0，当且仅当x＋1?2?12?? x＋2 1 ，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 12x＋25．已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( ) A．8 C．12 答案 B 41?41?4xy解析 由4x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·?＋?＝＋＋1＋4≥24＋5＝9， B．9 D．16 yx?yx? yx4xy当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B. yx6．若3x＋2y＝2，则8＋4的最小值为( ) A．4 C．2 答案 A 解析 ∵3x＋2y＝2，∴8＋4＝2＋2≥22·2＝22 xy3x2y3x2y3x＋2yxyB．42 D．22 ＝4，当且仅当3x＝2y，即 x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A. 7．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为( ) 1312 1A. 4C．1 答案 B 1B． 2D．2 解析 因为a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝1 2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即22xy≤2， 2111 所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，最大值为.故选B. 222 8．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为( ) 2x＋y1A. 41C． 9答案 C 解析 2y2x??＝，?xy??x＋2y＝1， 2x＋y1 B． 51D． 12 xyxy21?21?2y2x＝＋＝?＋?(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2 yx?yx? xy2y2x·＝9，当且仅当 xy 1?xy?＝1. 即x＝y＝时取等号，所以??max9 3?2x＋y? 14 9．已知函数f(x)＝cosπx(0 ab9A. 2C．18 答案 A B．9 D．36 解析 函数f(x)＝cosπx(0 f(b)，所以a＋b＝2，所以＋＝?＋?(a＋b)×＝?5＋＋?≥×?5＋2 ab?2?ab?ab?22?24149 当且仅当a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为.故选A. 33ab2 10．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为________． 答案 4 解析 ∵正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，∴x＋2y＋? b4a?9 ·?＝，ab?2 ?x＋2y?2－8≥0.设x＋2y＝t??2? 122 ＞0，∴t＋t－8≥0，∴t＋4t－32≥0，即(t＋8)(t－4)≥0，∴t≥4，即x＋2y≥4，当且 4 仅当x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值为4. 19 11．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得am·an＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的 mn最小值是________． 答案 4 解析 由于数列{an}是正项等比数列，由a6＝a5＋2a4得q＝q＋2，解得q＝2(负根舍去)．由am·an＝2a1，得2 m＋n－2 2 n9m?1191?19?1?2 ＝2，m＋n＝4.故＋＝?＋?·(m＋n)＝?1＋9＋＋?≥ mn?4mn4?mn?4? ? ?10＋2? 4. 19n9m?1 ·?＝×(10＋6)＝4，当且仅当m＝1，n＝3时等号成立，所以＋的最小值为 mnmn?4 12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是 sinBsinC________三角形． 答案 等腰直角 cbcbsinCsinBsinCsinB解析 ∵＋＝2a，∴＋＝2sinA，又＋≥2 sinBsinCsinBsinCsinBsinCsinCsinB·＝2，sinBsinCsinCsinBπ 当且仅当＝时，等号成立，∴sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，故A＝，b＝c， sinBsinC2∴△ABC是等腰直角三角形． 二、高考小题 13．(2024·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则答案 43 解析 ∵x>0，y>0，∴xy>0.∵x＋2y＝5，∴ x＋12y＋1 xy的最小值为________． x＋12y＋1 xy＝ 2xy＋x＋2y＋1 xy＝ 2xy＋6663＝2xy＋≥212＝43.当且仅当2xy＝，且x＋2y＝5，即x＝2，y＝或x2xyxyxy＝3，y＝1时取等号．∴ x＋12y＋1 xy的最小值为43. 1a14．(2024·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2＋b的最小值为________． 81答案 4 11aa－3ba－3ba－3b－6a－3b解析 由已知，得2＋b＝2＋2≥22·2＝22＝22＝，当且仅当2＝2 84 1a时等号成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故当a＝－3，b＝1时，2＋b取 81 得最小值. 4 15．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 答案 30 600900?900?解析 设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4?x＋?≥240，当且仅当x＝，即xx?x? x＝30时，等号成立． a4＋4b4＋1 16．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． ab答案 4 a4＋4b4＋1 解析 ∵a＋4b≥2a·2b＝4ab(当且仅当a＝2b时“＝”成立)，∴ ab4 4 2 2 22 2 2 ≥ 4ab＋1 22 ab＝4ab＋ 1 ab，由于ab＞0，∴4ab＋ 2 2 1 ab≥24ab· 1 ab＝ a＝2b，??1??故当且仅当?4?当且仅当4ab＝时“＝”成立?，1ab??4ab＝?ab? 2 a4＋4b4＋1 时， 的最小值为4. ab17．(2015·重庆高考)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________． 答案 32 解析 令t＝a＋1＋b＋3，则t＝(a＋1＋b＋3)＝a＋1＋b＋3＋2a＋1·b＋373 ≤9＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，即a＝，b＝时，等号成立，所以t的最 22大值为32. 三、模拟小题 18．(2024·山东日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则A．2－2 C．4＋22 答案 D 解析 2yxx＋2y－xxx＝＋＝1＋－＝1＋ x＋yx＋2yx＋yx＋2yx＋yx＋2y＋ 2y的最大值为( ) x＋yx＋2y＋ 2 xB．2＋2 D．4－22 xxyx＋yx＋2y＝1＋
2024届高考数学一轮复习第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试36基本不等式含解析人教版B版
