2024’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
文科数学(十一) 【p273】
(不等式)
时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＋c≥b－c B．ac>bc
c2C.>0 D．(a－b)c2≥0 a－b
【解析】令c＝0，可排除B，C两个选项，取a＝2，b＝1，c＝－3可排除A选项，故选D.
【答案】D
?4－x?
≤0?，那么集合A∩(?UB)＝2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝?x|?x＋1?
( )
A．[－2，4) B．(－1，3] C．[－2，1] D．[－1，3)
【解析】因为A＝{x|－2 【答案】D y≤x， ? 3．已知实数x，y满足?x＋y≤1，则目标函数z＝2x－y的最大值为( ) ?y≥－1， 1 A．－3 B. C．5 D．6 2 ?y≤x，? 【解析】作出不等式组?x＋y≤1，表示的平面区域，如图阴影部分所示： ??y≥－1 由目标函数z＝2x－y，得y＝2x－z，平移直线y＝2x－z，由图象可知当直线y＝2x－z ?y＝－1，?x＝2， 经过点A时，直线y＝2x－z的截距最小，此时z最大，由?解得?即 x＋y＝1，y＝－1，?? A(2，－1)，将点A的坐标代入目标函数z＝2x－y，得z＝2×2－(－1)＝5. 故选C. 【答案】C 4．设f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集是( ) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．R C.{x|x≠1} D.{x|x＝1} 【解析】由f(－1)＝f(3)得1－b＋1＝9＋3b＋1，即b＝－2. 由f(x)＝x2－2x＋1>0，解得x≠1. 【答案】C ??ax＋y＝1，? 5．设集合A＝?(x，y)|?a>0，b>0 ?＝?，则a＋b的取值范围是( ) x＋by＝1，??? A.(0，1) B.(1，2) C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) ??ax＋y＝1， 【解析】∵关于x，y的方程组? 无解， ∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by ?x＋by＝1? 1111 －1＝0平行， ∴－a＝－且≠1，即a＝且b≠1, ∵a>0，b>0，∴a＋b＝b＋>2，故选 bbbb D. 【答案】D 6．已知函数f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1) C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 2 【解析】由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋x. 3 221 ∵3x＋x≥22，当且仅当3x＝x，即x＝log32时，等号成立， 332∴k＋1<22，即k<22－1. 【答案】B 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) a＋ma＋ 7．已知a，b，m∈R，且a b＋mb a＋ma（b－a）ma＋maa＋ma 【解析】作差，－＝，由a b＋mbb（b＋m）b＋mbb＋mba＋ma 【答案】> b＋mb 12 8．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为 2ab ________________________________________________________________________． 【解析】由题意得，因为a，b为正实数， 12?125b2a＋(a＋b)＝＋＋ 所以＋＝?2ab?2ab?22ab 5b2a59≥＋2·＝＋2＝， 22ab22 b2a12 当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立， 2ab33129即＋的最小值为. 2ab2 9 【答案】 2 ?x＋y－3≥0， ? 9．若平面区域?2x－y－3≤0，夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离 ??x－2y＋3≥0 最短时，它们的斜率是__________． 【解析】作出平面区域如图所示： ?x＋y－3≥0，? 可行域是等腰三角形，平面区域?2x－y－3≤0，夹在两条平行直线之间，则这两条平行 ??x－2y＋3≥0 直线间的距离的最小值是点A到BC的距离或点B到AC的距离，又A(2，1)，B(1，2)，A |2－2＋3|3|2－2－3|3 到BC的距离为：＝，B到AC的距离为：＝，所以平行线的斜率为 555512或. 2 1 【答案】2或 2 x 10．设1≤x≤3，则函数f(x)＝log12的最小值是 x＋22________________________________________________________________________ . x113 【解析】因为1≤x≤3，所以f(x)＝log12＝log1≥log1＝，当且仅当x＝2时 22x＋22222x＋2x x3 等号成立，所以函数f(x)＝log12的最小值是. 2x＋223 【答案】 2 三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(13分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元，2 000元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h．A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数． (1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入． 【解析】(1)设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y件， 2x＋y≤500， ??x＋2y≤400， 约束条件是?由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分． x≥0，??y≥0， (2)设每月收入为z千元，目标函数是z＝3x＋2y， 31 由z＝3x＋2y可得y＝－x＋z，截距最大时z最大． 22 结合图象可知，z＝3x＋2y在A处取得最大值． ??2x＋y＝500，由?可得A(200，100)，此时z＝800. ??x＋2y＝400 故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200、100件可使月收入最大，最大为80万元． 12．(13分)一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%；若将少 13?a－用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为1.5??1 000x?万元，其中a>0. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围； (2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值． 【解析】(1)由题意得：1.5(500－x)(1＋0.5x%)≥1.5×500， 整理得：x2－300x≤0，故0 13?a－(2)由题意知，B生产线的利润为1.5??1 000x?x万元， 技术改进后，生产线A的利润为1.5(500－x)(1＋0.5x%)万元， 13?a－则1.5??1 000x?x≤1.5(500－x)(1＋0.5x%)恒成立， x23 ∴ax≤＋500＋x，且x>0， 1252x5003 ∴a≤＋＋. 125x2x500 又＋≥4，当且仅当x＝250时等号成立， 125x ∴0 x 13．(14分)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x. 3 (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． －x－ 【解析】(1)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－2x， 3 又函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， x－ ∴f(x)＝＋2x. 3 又f(0)＝0. x －2x，x＞0，3 ?综上所述f(x)＝?0，x＝0， x ?3＋2，x＜0. －x 5 (2)∵f(x)为R上的单调函数，且f(－1)＝＞f(0)＝0， 3 ∴函数f(x)在R上单调递减． ∵f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0， ∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)， ∵函数f(x)是奇函数， ∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)． 又f(x)在R上单调递减， ∴t2－2t＞k－2t2对任意t∈R恒成立， ∴3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立， ∴Δ＝4＋12k＜0， 1 解得k＜－. 3 1 －∞，－?. ∴实数k的取值范围为?3??
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