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泛函分析习题参考答案

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一d(x,y)、设证明:显然

为空间

~d(y,x)也是X上的距离。 X上的距离,试证:d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。

再者,

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y);

1?d(y,x)1?d(x,y)最后,由

t1的单调增加性及d(x,y)?d(x,z)?d(z,y),可得 ?1?1?t1?t~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)????1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

?~~d(x,z)d(z,y)??d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设

p?1,xn?(?1(n),L,?i(n),L)?lp,n?1,2,??1p,

x?(?1,L,?i,L)?lp,则

n??时,

p??d(xn,x)????i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时,?i(n)??i,i?1,2,L?i?1?;

(2)???0,

存在

N?0,使得

i?N?1???i(n)??对任何自然数n成立。

?1p??(n)(n)???必要性证明:由d(x,x)?ni??i??0可知,?i??i,i?1,2,L?i?1?p由

p。

x?(?1,L,?i,L)?lp可知,

???0,存在

N1?0,使得

i?N1?1p?(n)????ii?()p。 ?i?1???p?i?()p2,并且

n?N1时,

2p由此可得,

i?N1?1???i(n)pp????????pp?????i(n)??i?????i????p对n?N1成立。

??i?N1?1??i?N1?1????11p对于

n?1,2,LN1,存在N2?0,

i?N2?1???i(n)??pp。取

N?max?N1,N2?,则

i?N?1???(n)pi??p对任何自然数n成立。

充分性证明:由条件可知,

???0,存在K?0,使得

i?K?1???K(n)pi?()2??ip?p对任何自然数

n成立,并且

i?K?1???p?i?()p。

2由

?(n)i??i可知,存在N?0,使得n?N时,??i?1(n)i??p,并且

d(xn,x)???pi?1?(n)i??ip???i?1K(n)i??i?pi?K?1p???i(n)??ip

???i(n)??ii?1Kp???(n)p1pp1p???(??i)?(??i)??2?p。

i?K?1?i?K?1?三Lp[a,b](p?1)、在极限意义下,

上定义距离:

d(x,y)???bax(t)?y(t)dtp?1p,则在此距离诱导的

xn(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)xn(t)依测度收敛于x(t);(2)?xn(t)?在[a,b]上具有等度绝对连续的积分。

必要性证明:由

?(xn,x)?0,可得???0,?xn(t)?x(t)dt?E,令

pE(xn?x??)?xn?xdt

p??p?m(E(xn?x??),n?1,2,?x(t)。

n??,可得m(E(xn?x??)?0。即xn(t)依测度收敛于

x(t)的积分绝对连续性可知,对任何??0,存在?1?0,使得e?E,me??1时,(?x(t)dt)?ep1p?2。对上述

??0,存在

(?xn(t)?x(t)dt)?N?0,使得n?N时,

E1p1p1pp1p?2,

从而

?xenn(t)dt)?(?xn?xdt)?(?xdt)?(?xn?xdt)?(?xdt)??eeEe1ppppp1pp1p,

?xe对于

(t)dt)??p,对

n?N,N?1,?,成立。

(n?1,2,?,N,易知存在?2?0,使e?E,me??2时,

?xn(t)dt??)。

pe取

??min(?1,?2),则

e?E,me??时,?xn(t)dt)??ep1p,对每个自然数

n成立。

?xn(t)?在

[a,b]上具有等度绝对连续的积分。

充分性证明:对任何

??0,令

En(?)?E(xn?x??),则mEn(?)?0。由此可知,对任何??0,存在N?0,使得

n?N时,mEn(?)??。

Fn(?)?E(xn?x??),则?p(xn,x)?pEn?xn?xdt?pFn?xn?xdt。此时,

p11??pppppxn?xdt??(?xndt)?(?xdt)????EnEn?En?,

Fn?xn?xdt?(b?a)??p。

p

泛函分析习题参考答案

一d(x,y)、设证明:显然为空间~d(y,x)也是X上的距离。X上的距离,试证:d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。再者,~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y);1?d(y,x)1?d(x,y)最后,由t1的单调增加性
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