课时跟踪检测（十五） 几个常用函数的导数
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A．1条 C．3条
D．不确定
B．2条
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A．1 C．e
B．2 1
D. e
解析：选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.
5
3．已知f(x)＝－3x3，则f′(22)＝( ) A．10 C．5
2
B．－5x
3D．－10
522
解析：选D ∵f′(x)＝－5x3，∴f′(22)＝－5×23×＝－10，故选D.
3
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A．2 C．3
B．－2 D．－3
解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x， ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 1
5. 曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
3A．1 πC. 4
πB．－
45πD. 4
解析：选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
π
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝. 4
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 11
解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝. xe1
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
e
1
答案： x－ey＝0
e
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________. 1
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
x1
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
x1
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
2答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)． 答案：(0，－a2) 9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x； π
x＋?；(5)y＝e2. (4)y＝sin??2?解：(1)y′＝(x8)′＝8x81＝8x7.
－
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4. (3)y′＝(log3x)′＝
1
. xln 3
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e2)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点， (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程． (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点． 过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0. 过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 4－1
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
2＋1切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
11?1
所以x0＝，所以切点M??2，4?， 2与PQ平行的切线方程为： 11
y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 42
层级二 应试能力达标
51．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为( ) A.
15
B.
11023153D.2 10
5 22325C.23 5
14
解析：选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
55111s′＝·＝ .
5554410231
2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
2A．2 C．ln 2－1
B．ln 2＋1 D．ln 2
1
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，
x11
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
x21
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
2
13
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
x4A．(1,1) C．(－1,1)
B．(－1，－1) D．(1,1)或(－1，－1)
113
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－2，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为
xx4－1，
1
即f′(x)＝－2＝－1，所以x＝±1，
x则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn
＋
的值为( )
【三维设计】人教版高中数学选修1-1练习：3.2 第一课时 几个常用函数的导数(含答案解析)
