新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：3.2.1 第1课时 函数的单调性

第三章 3.2 3.2.1 第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上不单调

[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接． 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( A ) A．f(x)＝3－x C．f(x)＝2x

B．f(x)＝x2－3x 1

D．f(x)＝－

x

[解析] 根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝3－x在(0，＋∞)上331

单调递减；f(x)＝x2－3x在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增；f(x)＝2x，f(x)＝－在22x(0，＋∞)上单调递增．

3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( B ) 1

A．(－∞，)

31

C．(－∞，] 3

1

B．(，＋∞)

31

D．[，＋∞)

3

1

[解析] f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．

34．下列命题正确的是( D )

A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1

B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1

C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数

D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)

[解析] A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代1

表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝

x－11

在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义． x－1

5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( C ) 1

－，＋∞? A．??2?1－∞，－? C．?2??

B．[－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

131

x＋?2＋，[解析] y＝x2＋x＋1＝?其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤?2?421

－时单调递减． 2

6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( C ) A．(－∞，－3) C．(3，＋∞)

B．(0，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3. 二、填空题

7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.

[解析] 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．

8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝__13__.

m

[解析] 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.

4k

9．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__(－∞，x0)__. [解析] 函数f(x)是反比例函数，若k>0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以有k<0.

三、解答题

10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [解析] y＝－x2＋2|x|＋3

?－x2＋2x＋3?x≥0?，?

＝?2 ?－x－2x＋3?x<0??

2??－?x－1?＋4?x≥0?，＝? ?－?x＋1?2＋4?x<0?.?

函数图象如图，

由图象可知，在(－∞，－1)和[0,1]上，函数是增函数， 在[－1,0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．

1

11．求证：函数f(x)＝2在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．

x

2－x2

11x21

[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝2－2＝22＝

x1x2x1x2

?x2－x1??x2＋x1?

. 2

x21x2

22因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x1x2＞0.

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 1

所以函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数．

x对于任意的x3，x4∈(0，＋∞)，且x3＜x4，有 ?x4－x3??x4＋x3?

f(x3)－f(x4)＝. 2x23x4

2x2＞0. 因为0＜x3＜x4，所以x4－x3＞0，x4＋x3＞0，x34

所以f(x3)－f(x4)＞0，即f(x3)＞f(x4)． 1

所以函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x

B组·素养提升

一、选择题

1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( D ) A．(－∞，1) 1

C．(，＋∞)

2

B．(1，＋∞) 1

D．(－∞，)

2

[解析] ∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)． 1

∴2x<1，∴x<. 2

2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( D )

A．f(x1)＜f(x2) C．f(x1)＝f(x2)

B．f(x1)＞f(x2) D．不能确定

[解析] ∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．

b

3．(多选题)已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R

x上( AC )

A．f(0)＜0 C．是减函数

B．f(0)>0 D．是增函数

b

[解析] ∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数

x且f(0)＝a＜0，故选AC．

4．(多选题)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( BD )

A．函数f(x)在R上不具有单调性 B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减

C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1 3

D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是[0，]

4

[解析] 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2

－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递2a>0，??

减区间是(－∞，－4]得?4?a－3?a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)

－＝－4，?4a?a>0，??3

＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由?4?a－3?得0

4－≥3，?4a?3

的取值范围是[0，]，D正确．

4

二、填空题

35．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__[0，]__. 2

2??－x＋3x?x＞0?3

[解析] y＝－(x－3)|x|＝?2.作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．

2?x－3x?x≤0??

6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.

kkk

[解析] 对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.

888

a

7．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是__(0,1)__.

x

??a－1<0，

[解析] 由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足?所以0

?a>0，?

三、解答题

4

8．求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x[证明] 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1

4?x2－x1?x1x2－444

则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).

x1x2x1x2x1x2因为24，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)

4

所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x

9．函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. 求证：f(x)是R上的增函数．

[证明] 设x1，x2∈R，且x10， 所以f(x2－x1)>1.

所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以f(x1)

所以f(x)是R上的增函数．