《空间向量与立体几何》知识点
1.空间向量的概念：
⑴在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
⑵向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
uuuruuur⑶向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB|．
⑷模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．
rrr⑸与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作?a．
⑹方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2.空间向量的加法和减法：
⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O为起点的两个已
rr知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O起
uuurrr点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方
法，称为向量加法的平行四边形法则．
uuur1uuuruuur特别地，在?ABC中，D为BC的中点，则AD?(AB?AC).
2⑵求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法
uuurruuurr则．即：在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，则uuurrrBA?a?b．
rr3.实数?与空间向量a的乘积?a是一个向量，称为向量
rr的数乘运算．当??0时，?a与a方向相同；当??0时，
rrrrr当??0时，记为0．?a与a方向相反；?a为零向量，?ar的长度是a的长度的?倍．
rr4.设?，?为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
rrrrrr分配律：?a?b??a??b；结合律：???a??????a．
??5.如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
rrrrr6.向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条件是存
rr在实数?，使a??b．
??7.平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8.向量共面定理：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur使AP?xAB?yAC；或对空间任一定点O，有OP?OA?xAB?yAC；或若四点P，
uuuruuuruuuruuurA，B，C共面，则OP?xOA?yOB?zOC?x?y?z?1?．
uuurruuurrrr9.已知两个非零向量a和b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，则?AOB称
rrrrrrb为向量a，的夹角，记作?a，b?．两个向量夹角的取值范围是：?a，b??[0，?]．
rr?rrrrrrbbab???a10.对于两个非零向量a和，若，，则向量a，互相垂直，记作?b．
2rrrrrrrrrr11.已知两个非零向量a和b，则abcos?a，b?称为a，b的数量积，记作a?b．即rrrrrra?b?abcos?a，b?．零向量与任何向量的数量积为0．
rrrrrrrrr12.a?b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos?a，b?的乘积．
rrrrrrrrrr13.若a，b为非零向量，e为单位向量，则有：⑴e?a?a?e?acos?a，e?；
rrrr?arr?ba与b同向rrrrrrr2rrr⑵a?b?a?b?0；⑶a?b??rrrr，a?a?a，a?a?a；
?aba与b反向??rrra?brrrrr⑷cos?a，b??rr；⑸a?b?ab．
abrrrrrrrrrr14.向量数乘积的运算律：⑴a?b?b?a；⑵??a??b??a?b?a??b；
rrrrrrr⑶a?b?c?a?c?b?c．
rrrr15.若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，
rrrrrrrrrrry，z}，使得p?xi?yj?zk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．
rrrr16.空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实
rrrr数组{x，y，z}，使得p?xa?yb?zc．
rrr17.若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是
rrrrrrrr{pp?xa?yb?zc，x，y，z?R}．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的， rrrrrr{a，b，c}称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向
??????????量都可以构成空间的一个基底．
uruurur18.设e1，（称它们为单位正交基底），e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量uruurururuurur以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的
r正方向建立空间直角坐标系Oxyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，
uuurr使它的起点与原点O重合，得到向量OP?p．存在有序实数组{x，y，z}，使得
uruurururuururrrp?xe1?ye2?ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，
rr记作p?(x，y，z)．此时，向量p的坐标是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．
rrrr19.设a?(x1，y1，z1)，b?(x2，y2，z2)，则⑴a?b?(x1?x2，y1?y2，z1?z2)．
rrr⑵a?b?(x1?x2，y1?y2，z1?z2).⑶?a?(?x1，?y1，?z1)． rr⑷a?b?x1x2?y1y2?z1z2．
rrrrrr⑸若a、b为非零向量，则a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0．
rrrrrr⑹若b?0，则a//b?a??b?x1??x2，y1??y2，z1??z2．
rra?a?rr⑻cos?a，b??⑺a?rx12?y12?z12． rrx1x2?y1y2?z1z2a?b?． rr222222abx1?y1?z1?x2?y2?z2222⑼A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
uuur20.在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来
uuur表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标就是向量OP的坐标. 21.若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则：
x?x2y?y2z?z2⑴线段AB的中点C的坐标为(1，1，1)；
222uuuruuur⑵点P在直线AB上，且AP??AB，则点P的坐标为： uuuruuuruuurOP?OA??AB?(x1??(x2?x1)，y1??(y2?y1)，z1??(z2?z1)).
rr22.直线l垂直?，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量．空间中不共线三点A、B、C确定的平面ABC的法向量有无数条，我们可以这样来求出它的一个
法向量：
dABuuur?AB??x2?x1???y2?y1???z2?z1?．
rruuurruuur设平面ABC的法向量n?(x，y，z)，则n?AB，n?AC，进而可以得到关于x、
ry、z的两个三元一次方程，对其中一个变量赋值就可以得到一个法向量n.
rrrr23.若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b?a//b?
rrrrrra??b???R?，a?b?a?b?a?b?0．
rrr24.若直线a的方向向量为a，平面?的法向量为n，且a??，则a//??a//?
rrrrrrrrr?a?n?a?n?0，a???a???a//n?a??n．
rrrr25.若空间不重合的两个平面?，?的法向量分别为a，b，则?//??a//b?
rrrrrra??b，????a?b?a?b?0．
rr26.设异面直线a，b的夹角为?，方向向量为a，b，其夹角为?，则有
rra?bcos??cos??rr．
abrrrr27.设直线l的方向向量为l，平面?的法向量为n，l与?所成的角为?，l与n的夹
rrl?n角为?，则有sin??cos??rr．
lnuruururuur28.设n1，n2是二面角??l??的两个面?，?的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角??l??的平面角为?，则
uuuruuur29.点A与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB计算．
r30.在直线l上找一点P，过定点A且垂直于直线l的向量为n，则定点A到直线l的距
uuurrPA?nuuuruuurr离为d?PA|cos?PA，n?|?r．
nr31.点P是平面?外一点，A是平面?内的一定点，n为平面?的一个法向量，则点PuuurrPA?nuuuruuurr到平面?的距离为d?PA|cos?PA，n?|?r．
nuruurn1?n2cos??uruur．
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