2024中考
∴显然都满足∠ACB为锐角， ∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意， 综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．
8．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）． （1）求证：抛物线与x轴有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．
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（1）证明：△＝b﹣4ab＝[﹣3（a﹣1）]﹣4a（2a﹣6）＝a+6a+9＝（a+3）， ∵a＞0， ∴（a+3）＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）解：令y＝0，则ax﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0， ∴∵a＞0， ∴∴x1＝2，∴
∴t＝a﹣5；
（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4， 向上平移一个单位得y＝x﹣3， 令y＝0，则x2﹣3＝0， 得∴∵OP＝1， ∴直线
，
，
，
，
22
2
2222
或，
且x1＞x2，
，
，
联立：，
解得，，，
即∴AO＝
，
，，
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在Rt△AOP中，
AP＝＝2，
过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H， ∵CN∥x轴， ∴∠GCM＝∠PAO， 又∵∠AOP＝∠CGM＝90°， ∴△AOP∽△CGM， ∴∴
∵B到CN最小距离为CH， ∴MB+GM的最小值为CH的长度， ∴2MB+MC的最小值为
．
＝
＝，
，
9．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点
A在x轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．
（1）a＝ 1 ，c＝ ﹣1 ，k＝ 1 （直接写出结果）；
（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为 ﹣1＜x＜2 （直接写出结果）；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标．
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解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得： 3＝2k+1 解得：k＝1 ∴y2＝x+1
令y2＝0得：0＝x+1 解得：x＝﹣1 ∴A（﹣1，0）
将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax+c得：
解得：a＝1，c＝﹣1 故答案为：1，﹣1，1； （2）∵A（﹣1，0）、B（2，3）
∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2 故答案为：﹣1＜x＜2；
（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大． 如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b 由
得：x2﹣1＝x+b
2
∴x2﹣x﹣1﹣b＝0
令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0 解得：b＝﹣ ∴y3＝x﹣，
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∴x﹣x﹣1+＝0 解得：x1＝x2＝ ∴P（，﹣）
∴当点P坐标为（，﹣）时，△ABP的面积最大
设y3＝x﹣与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB 由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度 ∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45° ∴△ACD为等腰直角三角形 ∵AC＝﹣（﹣1）＝
2
∴CD＝＝＝
∵A（﹣1，0）、B（2，3） ∴AB＝
＝
×
＝
；
∴△ABP的面积为：×
∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为点P坐标为（，﹣）．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线对应的函数表达式；
2024年中考数学压轴题专练5份
