2024中考
2024年数学中考压轴题专项训练：二次函数的综合
1．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．
（1）求二次函数y＝ax+bx+c的表达式； （2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；
（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：
①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由； ②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标． 解：（1）∵图象经过原点， ∴c＝0，
∵顶点为P（2，﹣4）
∴抛物线与x轴另一个交点（4，0）， 将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx， ∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝x﹣4x； （2）∵∠APO＝90°， ∴AP⊥PO， ∵A（m，m2﹣4m）， ∴m﹣2＝，
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∴m＝， ∴A（，﹣
）；
（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0）， ∴CD∥OB， ∵CD＝4，OB＝4，
∴四边形OBCD是平行四边形； ②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0， ∴12＝4×（﹣n）， ∴n＝﹣3，
∴A（1，﹣3）或A（3，3）．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝上；
（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标． 解：（1）∵图象经过点C（0，1）， ∴c＝1， ∵对称轴x＝2， ∴k＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；
（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0）， ∵AB＝
，
，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆
∴（t﹣2）2+1＝2， ∴t＝1或t＝3，
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∴B（1，0）或B（3，0），
∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去， ∴B（3，0）， ∴AC＝2
，BC＝
，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为
，
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设Q（x，﹣1），则有（x﹣）+（+1）＝（∴x＝1或x＝2（舍去）， ∴Q（1，﹣1）；
），
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（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点， ∴b＝a﹣a+1，
∵P到直线l的距离等于PM， ∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2， ∴
+（2n﹣2m+2）a+（m+n﹣2n﹣3）＝0，
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∵a为任意值上述等式均成立， ∴
，
∴，
此时m2+n2﹣2n﹣3＝0， ∴定点M（2，1）．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2
，tan∠OBC＝．
（1）求拋物线的解析式；
（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线
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BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；
（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，
为半径作⊙M，当⊙M在运动过
程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．
解：（1）∵BC＝2∴OB＝4，OC＝2，
，tan∠OBC＝，
∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x+bx+c中， ∴c＝2，b＝， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）当x＝2时，y＝3， ∴P（2，3），
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， ∵PD平行于y轴， ∴D（2，1）， ∴PD＝2， ∵PD平行于y轴， ∴∠PDE＝∠OCB， ∵PE⊥BC，
∴∠PED＝∠COB＝90°， ∴△PDE∽△BCO，
∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方， ∵△BCO的面积为4，
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∴△PED的面积是4×＝；
（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H， ∴△MGH∽△COB， ∴
＝
，
∵⊙M与直线BC相切， ∴MG＝
，
∴MH＝5，
设点M（x，﹣x+x+2），
如图1，设H（x+5，﹣x+x+2）代入y＝﹣x+2， ∴x＝﹣1或x＝5，
∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；
如图2，点H（x﹣5， x2+x+2）代入y＝﹣x+2， ∴方程无解，
综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．
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2024年中考数学压轴题专练5份
