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高考数学专题复习 函数的性质

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2016高考数学专题一:函数的基本性质

一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小,解不等式,求最值。

定义:(略)

定理1:x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数;

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

x1?x2定理2:(导数法确定单调区间) 若x??a,b?,那么

f??x??0?f(x)在?a,b?上是增函数; f??x??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和u?g(x),如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性,当x??a,b?时且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性,则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。 u??m,n?,

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且I?J??: (1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时, ①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性与f(x)相同, ②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性不能确定; g(x)(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时,我们假设f(x)为增函数,g(x)为减函数,那么: ①F1(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定; ②F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数,F5(x)?(f(x)?0)为减函数。 g(x)f(x)4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数y?f(x)的图象的对称性(自身): 定理1: 函数y?f(x)的图象关于直x?a?b对称 2?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?x)?f(x)

特殊的有:

①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)。 ②函数y?f(x)的图象关于y轴对称(奇函数)?f(?x)?f(x)。 ③函数y?f(x?a)是偶函数?f(x)关于x?a对称。 定理2:函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称

?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b

特殊的有:

① 函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f(x)??f(2a?x)。 ② 函数y?f(x)的图象关于原点对称(奇函数)?f(?x)??f(x)。 ③ 函数y?f(x?a)是奇函数?f(x)关于点?a,0? 对称。 定理3:(性质)

①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。 2.两个函数图象的对称性:

①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.

②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b对称. 2m特殊地: y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称 ③函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称的解析式为y?f(2a?x) ④函数y?f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为y??f(2a?x) ⑤函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。 3.奇偶函数性质

对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x),若它们的定义域分别为I和J,且I?J??: (1)满足定义式子f(?x)?f(x)(偶)f(x)?f(?x)?0(奇) (2)在原点有定义的奇函数有f(0)?0

(3)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么: ①函数F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数; ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?奇函数±奇函数=奇函数, 偶函数±偶函数=偶函数, ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数

奇函数×奇函数=偶函数,

(4)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时,那么:

偶函数×偶函数=偶函数, 奇函数×偶函数=奇函数.

①F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定;

②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?

(6)任意函数f(x)均可表示成一个奇函数g(x)?f(x)(g(x)?0)为偶函数; g(x)简单地说:

f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x)1?f(x)?f(?x)?与一个偶函数h(x)?1?f(x)?f(?x)?的和。

22(7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数

(8)图形的对称性 关于y轴对称的函数(偶函数)关于原点?0,0?对称的函数(奇函数) (9)若f(x)是偶函数,则必有f(ax?b)?f??(ax?b)? 若f(x)是奇函数,则必有f(ax?b)??f??(ax?b)? (10)若f(ax?b)为偶函数,则必有f(ax?b)?f(?ax?b)

若f(ax?b)是奇函数,则必有f(ax?b)??f(?ax?b)

(11)常见的奇偶函数 三、函数的周期性

函数的周期性反映了函数的重复性,在试题中它的主要用途是将大值化小,负值化正,求值。 1.周期性的定义

对于函数y?f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x?T)?f(x)都成立,那么就把函数y?f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。如果所有

的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数f(x)的周期,那么?T、nT(n?N)也是函数f(x)的周期。 2. 函数的周期性的主要结论:

结论1:如果f(x?a)?f(x?b)(a?b),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?a?b 结论2:如果f(x?a)??f(x?b)(a?b),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2a?b

结论3:如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x?a、x?b对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2a?b

结论4:如果偶函数f(x)的图像关于直线x?a(a?0)对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2a 结论5:如果奇函数f(x)的图像关于直线x?a(a?0)对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?4a 结论6:如果函数同时关于两点?a,c?、?b,c?(a?b)成中心对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期

*T?2a?b

结论7:如果奇函数f(x)关于点?a,c?(a?0)成中心对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2a 结论8:如果函数f(x)的图像关于点?a,c?(a?0)成中心对称,且关于直线x?b(a?b)成轴对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?4a?b 结论9:如果f(x?p)?结论10:如果f(x?11或f(x?p)??,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2p f(x)f(x)p1?f(x)p1?f(x))?或f(x?)?,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2p 21?f(x)21?f(x)结论11:如果f(x?p)??f(x),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T?2p

函数的图象和性质课堂例题

一、函数图象的分析和判断

例1 (1)设a

2

类型二:构造函数解决不等式问题

例2(1)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为

(2)若函数f(x)在R上可导,且满足f(x) >x f′(x),则一定有( )

A、2 f(5)< f(10) B、2 f(5)> f(10) C、2 f(5)= f(10) D、f(5)< f(10) (3)(2012浙江9) 9.设a?0,b?0,则( )

abab A.若2?2a?2?3b,则a?b B.若2?2a?2?3b,则a?b

abab C.若2?2a?2?3b,则a?b D.若2?2a?2?3b,则a?b

类型三:函数的性质(对称性、奇偶性、周期性、单调性) 判断对称性的问题:

例3:判断函数对称性命题的正误 有以下四个命题:

(1) 定义在R上的函数y=f(x),对任意的实数x,都有f(x-1) +f(1-x)=2,则函数y=f(x)的图象关于点(0,1)

对称。

(2) 定义在R上的函数y=f(x),对任意的实数x,都有f(x-1) =f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称。 (3) 同一坐标系中,实数集上的函数y= f(x-1)与实数集上的函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称。 (4) 同一坐标系中,实数集上的函数y= f(x+1)与实数集上的函数y=f(1-x)的图象关于x=0对称。 其正确的命题是 . 判断函数的奇偶性

例4:(2009年全国1卷)函数f(x)的定义域为R,若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数,则( ) (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数

练习:设f?x??xsinx,x1、x2???,?,且f?x1?>f?x2?,则下列结论必成立的是( )

?22? A. x1>x2 B. x1+x2>0 C. x1<x2 D. x1>x2

3.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )

A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 函数周期性的问题 例5、已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2 012)=( )

A.0 B.-4 C.-8 D.-16

?3??3?练习1.已知定义在R上的函数f(x)满足 f?x+?=-f(x),且函数y=f?x-?为奇函数,给出三个结论:?2??4??3?①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于点?-,0?对称;③f(x)是偶函数.其中正确结论的个数为( ) ?4?

22????

高考数学专题复习 函数的性质

2016高考数学专题一:函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小,解不等式,求最值。定义:(略)定理1:x1?x2??a,b?,x1?x2那么(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f
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