2016年广东省压轴题24题圆(有答案)

24、如图11，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. （1）求证：△ACF∽△DAE； （2）若S△AOC=34，求DE的长； （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线 24. （1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，

又∠ABC=30°， ∴∠ACB=60°， 又OA=OC，

∴△OAC为等边三角形，即∠OAC=∠AOC=60°，∵AF为⊙O的切线， ∴∠OAF=90°，

∴∠CAF=∠AFC=30°， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠DBC=∠OBE=90°， ∴∠D=∠DEA=30°，

∴∠D=∠CAF，∠DEA=∠AFC， ∴△ACF∽△DAE；

（2）∵△AOC为等边三角形，

∴S△AOC=334OA2=4， ∴OA=1，

∴BC=2，OB=1，

又∠D=∠BEO=30°， ∴BD=23，BE=3， ∴DE=33；

（3）如图，过O作OM⊥EF于M，

∵OA=OB，∠OAF=∠OBE=90°，∠BOE=∠AOF，∴△OAF≌△OBE， ∴OE=OF，

∵∠EOF=120°，

∴∠OEM=∠OFM=30°，

∴∠OEB=∠OEM=30°，即OE平分∠BEF， 又∠OBE=∠OME=90°， ∴OM=OB，

∴EF为⊙O的切线.

D ABOCFE