rsin??z?1(d) H(z)?
1?rcos??z?1?rcos??z?1?r2sin2??z?2?r2cos2??z?26. 写出图中流图的系统函数。图f 解:
112?z?1?22?z?142(f) H(z)? ?1?13?21?13?21?z?z1?z?z48488.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)??(n)??(n?1)??(n?4),试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公
式。 解:
已知频率采样结构的公式为 式中,N=5
它的频率采样结构如题8解图所示。
6.2 教材第六章习题解答
1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求通带截止频率fp?6kHz,通带最大衰减ap?3dB,阻带截止频率fs?12kHz,阻带最小衰减as?3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解:
(1)求阶数N。
将ksp和?sp值代入N的计算公式得
所以取N=5(实际应用中,根据具体要求,也可能取N=4,指标稍微差一点,但阶数低一阶,使系统实现电路得到简化。) (2)求归一化系统函数Ha(p),由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为 或 Ha(p)?1
(p2?0.618p?1)(p2?1.618p?1)(p?1)当然,也可以按(6.12)式计算出极点: 按(6.11)式写出Ha(p)表达式
代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
(3)去归一化(即LP-LP频率变换),由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数
Ha(s)。
由于本题中ap?3dB,即?c??p?2??6?103rad/s,因此 对分母因式形式,则有
如上结果中,?c的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2. 设计一个切比雪夫低通滤波器,要求通带截止频率fp?3kHz,通带最在衰减速
ap?0.2dB,阻带截止频率fs?12kHz,阻带最小衰减as?50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和实际的Ha(s)。
解:
(1)确定滤波器技术指标: (2)求阶数N和?:
为了满足指标要求,取N=4。 (2)求归一化系统函数Ha(p) 其中,极点pk由(6.2.38)式求出如下:
(3)将Ha(p)去归一化,求得实际滤波器系统函数Ha(s)
其中sk??ppk?6??10pk,k?1,2,3,4,因为p4?p?1,p3?p?2,所以
3s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式,其系数
全为实数。
4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为: (1)Ha(s)?s?a; 22(s?a)?bb。式中,a,b为常数,设Ha(s)因果稳定,试采用脉冲响应不变
(s?a)2?b2(2)Ha(s)?法,分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解:
该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以,求解该题具有代表性,
解该题的过程,就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式,设采样周期为T。 (1)Ha(s)?s?a
(s?a)2?b2Ha(s)的极点为:
将Ha(s)部分分式展开(用待定系数法): 比较分子各项系数可知:
A、B应满足方程: 解之得 所以
按照题目要求,上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中,一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称,所以将H(z)的两项通分并化简整理,可得
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时,直接套用上面的公式即可,且对应结构图中无复数乘法器,便于工程实际中实现。 (2) Ha(s)?b 22(s?a)?bHa(s)的极点为:
将Ha(s)部分分式展开: 通分并化简整理得
5. 已知模拟滤波器的传输函数为: (1)Ha(s)?1;
s2?s?11试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波
2s2?3s?1(2)Ha(s)?器,设T=2s。 解:
(1)用脉冲响应不变法
方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式,Ha(s)的极点为: 代入T=2s
方法2 直接套用4题(2)所得公式,为了套用公式,先对Ha(s)的分母配方,将Ha(s)化成4题中的标准形式:
Ha(s)?由于 所以
对比可知,a?b?c,c为一常数, 22(s?a)?b13,套用公式得 ,b?22或通分合并两项得
(2)用双线性变换法
7. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器,又知H(z)?Ha(s)s?z?1z?1,数字滤波器
H(z)的通带中心位于下面的哪种情况?并说明原因。
(1)w?0 (低通); (2)w??(高通);
(3)除0或?外的某一频率(带通)。 解:
按题意可写出 故 即
原模拟低通滤波器以??0为通带中心,由上式可知,??0时,对应于w??,故答案为(2)。 9. 设计低通数字滤波器,要求通带内频率低于0.2?rad时,容许幅度误差在1dB之内;频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB;试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计,用脉冲响应不变法进行转换,采样间隔T=1ms。 解:
本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计,所以,由巴特沃斯滤波器的单调下降特性,数字滤波器指标描述如下:
采用脉冲响应不变法转换,所以,相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为: (1)求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p):
取N=5,查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为: 将Ha(p)部分分式展开: 其中,系数为:
(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。
我们希望阻带指标刚好,让通带指标留有富裕量,所以按(6.2.18)式求3dB截止频率?c。 其中Bk??cAk,sk??cpk。
(3)用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z):
我们知道,脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真,设计的滤波器阻带指标变差。另外,由该题的设计过程可见,当所以实际工作中用得很少,主要采用双线性变换法设计。 N较大时,部分分式展开求解系数A或B相当困难,
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