《三角恒等变换》复习课(2个课时)
一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式,对三角函数式进行化简、求值和证明:二、知识与方法:1.11个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它出发,用-β代替β、?±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗?2cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβtan??tan?1?tan?tan?tan??tan?tan(α-β)=1?tan?tan?tan(α+β)=sin2α=2sinαcosαcos2α=cosα-sinα22tan2α=tan??tan?1?tan?tan?=2cos2α-1=1-2sin2α2.化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来;3.求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4.证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右相等。5.三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换,即(1)找差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以用哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式,如升、降幂公式,cosα=cosβcos(α-β)-sinβsin(α-β),1=sin2α+cos2α,1?tan300tan450?tan300
==tan(450+300)等。0001?tan301?tan45tan30例题例1已知sin(α+β)=21tan?,sin(α-β)=,求的值。35tan?例2求值:cos24°﹣sin6°﹣cos72°11例3化简(1)131;2222
(2)sinαsinβ+cosαcosβ-cos2αcos2β。?
2sin200sin700例4设为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=?。2例5如图所示,某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m,渠深8米。则水渠壁的倾角?应为多少时,方能使修建的成本最低?分析:解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型,作出横断面的图形,要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小,利用三角形的边角关系将倾角为?和横断面的周长L之间建立函数关系,求函数的最小值12AED8BC三、例题集锦:考点一:三角函数的概念1.设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P、Q是单位圆上的两点,O是坐标原点,?AOP?
?,?AOQ??,???0,??.6
????????34???
(1)若Q(,),求cos????的值;(2)设函数f????OP?OQ,求f???的值域.556??
2.已知函数f(x)?3sin2x?2sinx.(Ⅰ)若点P(1,?3)在角?的终边上,求f(?)的值;(Ⅱ)若x?[?
2
??,],求f(x)的值域.63
考点二:三角函数的图象和性质3.函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?
?
(Ⅰ)求f(x)的最)部分图象如图所示.2?2小正周期及解析式;(Ⅱ)设g(x)?f(x)?cos2x,求函数g(x)在区间x?[0,]上的最大值和最小值.y1??3o?1?6x考点三、四、五:同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换4.已知函数f(x)?sin(2x?
?)?cos2x.6
(1)若f(?)?1,求sin??cos?的值;(2)求函数f(x)的单增区间.(3)求函数的对称轴和对称中心5.已知函数f(x)?2sin?xcos?x?2cos?x(x?R,??0),相邻两条对称轴间的距2
离等于?.2?
?????
(Ⅰ)求f()的值;(Ⅱ)当x??0,?时,求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值.42136、已知函数f(x)?2sinx?sin(
?
?x)?2sin2x?1(x?R).2
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(
x02ππ)?x?(?, )求cos2x0的值.023,44,7、已知sin(A?)?
π472ππ
,A?(,).1042
(Ⅰ)求cosA的值;14(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?
5
2
sinAsinx的值域.
必修4三角恒等变换两角和差的正弦余弦正切公式
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