必修4三角恒等变换两角和差的正弦余弦正切公式

由天下分享时间：2024/9/8 20:12:02 加入收藏我要投稿点赞

《三角恒等变换》复习课（2个课时）

一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1.11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、?±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？2cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβtan??tan?1?tan?tan?tan??tan?tan（α-β）=1?tan?tan?tan（α+β）=sin2α=2sinαcosαcos2α=cosα-sinα22tan2α=tan??tan?1?tan?tan?=2cos2α-1=1-2sin2α2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。5.三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式，cosα=cosβcos（α-β）-sinβsin（α-β），1=sin2α+cos2α，1?tan300tan450?tan300

==tan（450+300）等。0001?tan301?tan45tan30例题例1已知sin（α+β）=21tan?，sin（α-β）=，求的值。35tan?例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°11例3化简（1）131；2222

（2）sinαsinβ+cosαcosβ-cos2αcos2β。?

2sin200sin700例4设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=?。2例5如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角?应为多少时，方能使修建的成本最低？分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为?和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值12AED8BC三、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，?AOP?

?，?AOQ??,???0,??．6

????????34???

（1）若Q(,)，求cos????的值；（2）设函数f????OP?OQ，求f???的值域．556??

2．已知函数f(x)?3sin2x?2sinx.（Ⅰ）若点P(1,?3)在角?的终边上，求f(?)的值；（Ⅱ）若x?[?

??,]，求f(x)的值域.63

考点二：三角函数的图象和性质3.函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?

（Ⅰ）求f(x)的最)部分图象如图所示．2?2小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)?f(x)?cos2x，求函数g(x)在区间x?[0,]上的最大值和最小值．y1??3o?1?6x考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换4．已知函数f(x)?sin(2x?

?)?cos2x.6

（1）若f(?)?1，求sin??cos?的值；（2）求函数f(x)的单增区间.（3）求函数的对称轴和对称中心5.已知函数f(x)?2sin?xcos?x?2cos?x（x?R，??0），相邻两条对称轴间的距2

离等于?．2?

?????

（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当x??0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．42136、已知函数f(x)?2sinx?sin(