例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)、sin72cos42?cos72sin42;(2)、cos20cos70?sin20sin70;(3)、?
?
?
?
?
?
?
?
1?tan15?
.1?tan15?解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1)、sin72cos42?cos72sin42?sin72?42
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??sin30????cos90
?
1
;2(2)、cos20cos70?sin20sin70?cos20?70
???
?0;1?tan15?tan45??tan15????
??tan45?15?tan60?3.(3)、?????
1?tan151?tan45tan15
例3、化简2cosx?6sinx
解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢??1?3???
2cosx?6sinx?22?cosx?sinx?22sin30cosx?cos30sinx?22sin30?x?????2?2??
思考:22是怎么得到的?22?
??2???6?22,我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于31
和的.22小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.作业:1、已知tan??????
2??1??3??
(),tan?????,求tan????的值.225444????
2、已知0???
的值.????4??
3????3?3?,cos?????,sin???4?4?5?4?5
,求sin????????136§3.1.3
一、教学目标二倍角的正弦、余弦和正切公式
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;教学难点:二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法:研讨式教学四、教学设想:(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,sin??????sin?cos??cos?sin?;cos??????cos?cos??sin?sin?;tan??????
tan??tan?.1?tan?tan?我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中?看成?即可),(二)公式推导:sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?;cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?;思考:把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢?cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?;cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1.tan2??tan??????
注意:2??
tan??tan?2tan??.21?tan?tan?1?tan????k?,???k?22
?k?z?(三)例题讲解例1、已知sin2??
5??,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值.1342
7解:由??????,得?2???.422
2125?5?又因为sin2??,cos2???1?sin22???1?????.1313?13?于是sin4??2sin2?cos2??2?
5?12?120
??????;13?13?169
2
120
sin4?120?5?119
;tan4??.?169??cos4??1?2sin22??1?2????
119cos4?11913169??
169?
例2、已知tan2??解:tan2??
1
,求tan?的值.3
2tan?12
?,由此得tan??6tan??1?021?tan?3
解得tan???2?5或tan???2?5.(四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.(五)作业:P150.T3?T4
3.2简单的三角恒等变换(3个课时)
一、课标要求:本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.三、教学目标通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.8四、教学重点与难点教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.五、学法与教学用具学法:讲授式教学六、教学设想:学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台.下面我们以习题课的形式讲解本节内容.例1、试以cos?表示sin
2
???,cos2,tan2.222
2
解:我们可以通过二倍角cos??2cos因为cos??1?2sin因为cos??2cos
2
2
???1和cos??1?2sin2来做此题.22
?1?cos?2??,可以得到sin;222
??1?cos?.?1,可以得到cos2?
222
?2?2?1?cos?.又因为tan?
2cos2?1?cos?2sin2
思考:代数式变换与三角变换有什么不同?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点.例2、求证:(1)、sin?cos??
1
?sin??????sin???????;2?
(2)、sin??sin??2sin
??????.cos
22证明:(1)因为sin?????和sin?????是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.sin??????sin?cos??cos?sin?;sin??????sin?cos??cos?sin?.9两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????;即sin?cos??
1
?sin??????sin???????;2?
(2)由(1)得sin??????sin??????2sin?cos?①;设?????,?????,那么??
??????,??.22??????.cos
22把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin思考:在例2证明中用到哪些数学思想?例2证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式.例3、求函数y?sinx?3cosx的周期,最大值和最小值.解:y?sinx?3cosx这种形式我们在前面见过,?1?3???
y?sinx?3cosx?2?sinx?cosx?2sinx????,?2?23????
所以,所求的周期T?
2???2?,最大值为2,最小值为?2.点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数y?Asin??x???的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用.作业:P157?P158T1?T4
10
必修4三角恒等变换两角和差的正弦余弦正切公式
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)