必修4三角恒等变换两角和差的正弦余弦正切公式

由天下分享时间：2024/12/2 9:35:37 加入收藏我要投稿点赞

第三章

一、课标要求：三角恒等变换

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的4.本章在内容的安排上贯彻内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式3.2简单的恒等变换复习约3课时约3课时约2课时1§3.1

一、课标要求：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1两角差的余弦公式

一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1.教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1.学法：启发式教学2.教学用具：多媒体四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道cos45?

23?，cos30?，由此我们能否得到22

cos15??cos?45??30????大家可以猜想，是不是等于cos45??cos30?呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos???????（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角?的终边与单位圆的交点为P1，cos?等于角?与单位圆交点的横坐标，也可以用角?的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角?2和角???？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos?????与cos?、cos?、sin?、sin?之间的关系，由此得到cos(???)?cos?cos??sin?sin?，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.思考：cos???????，cos??????cos??????????，再利用两角差的余弦公式得出cos??????cos???????????cos?cos?????sin?sin?????cos?cos??sin?sin?（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.?

cos75??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??cos15??cos?45??30???cos45?cos30??sin45?sin30??

23216?2????2222423216?2????22224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15??cos?60??45??，要学会灵活运用.例2、已知sin??

54???

，???,??,cos???,?是第三象限角，求cos?????的值.135?2?

234????4?2解：因为???,??，sin??由此得cos???1?sin???1?????

55?2??5?125?5?2又因为cos???,?是第三象限角，所以sin???1?cos???1??????

1313?13?23所以cos(???)?cos?cos??sin?sin????

33?3??5?4?12?

????????????

65?5??13?5?13?

点评：注意角?、?的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角?、?的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.（五）作业：P150.T1?T2

§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.??????????????

sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin??2???2??2???2?

?sin?cos??cos?sin?．4sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）tan??????

sin?????cos??????

sin?cos??cos?sin?．cos?cos??sin?sin?通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan??????

tan??tan?．1?tan?tan?注意：????

????k?,???k?,???k?(k?z)222tan??tan????1?tan?tan????tan??tan?1?tan?tan?以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？tan??????tan???????????

注意：????

????k?,???k?,???k?(k?z)．222

5（二）例题讲解例1、已知sin???,?是第四象限角，求sin?

?????????

???,cos????,tan????的值.4??4??4??

243?3?2解：因为sin???,?是第四象限角，得cos??1?sin??1?????，55?5?3