中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.
科目代码：670
摘 要：本文给出了中山大学研究生入学考试数学分析试题一种参照答案. 核心词：中山大学；研究生 数学分析
白 建 超 5月30日
1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:
dx(x?t)sintdt ?0dx?xsinx(2) ?dx.
01?cos2x(1)
?123(3) lim??2?3?n??aaa??n??. an?(4) ??(x2?y2)dS,其中S为立体x2?y2?z?1边界曲面.
Sxxd解(1) 原式?xsintdt??tsintdt
0dx?0????sintdt?xsinx?xsinx0x?(?cost)?1?cosxx0
(2)一方面做一下阐明：对积分?f(x)dx做变换t?x?a，则
0a? 因此
a0f(x)dx???f(a?t)dt??f(a?t)dt，
a00a? 故
?a0f(x)dx?12??a0f(x)dx??f(a?x)dx.
0a??0xsinxdx?21?cosx?(??x)sin(??x)?1??xsinxdx?dx??0? 22?02?1?cosx1?cos(??x)??(??x)sinx1??xsinx?dx?dx ??? ?01?cos2x?2?01?cos2x? ??2??0sinx?dx??arctancosx221?cosx?0
?2? 4(3)一方面级数?n?1?n在x?1时收敛，由于由比值鉴别法极限形式有 nx?an?1kn?111 lim?lim??1，即x?1，因此对?k，
n??an??nxxk?1an当a?1时收敛，极限不存在，即发散；
n?1k1k当a?1时收敛，极限存在，记当Sn??k则Sn??k,两式相减解得
ak?1ak?2ana?n1n?. Sn???kn?1?a?1?aa?k?1? 又limnx1?lim?lim?0,因此
n??an?1x??ax?1x??ax?1lna?123 lim??2?3?n??aaa?n?a?n1n? ?n??lim??kn?1?a?n??a?1?aa?k?1?1aa?a ?a?11?1(a?1)2a(4)记上顶面为，S1:z?1,x2?y2?1
锥面：S2:z?x2?y2,x2?y2?1.
22?zy?1； 当z?1时，1?zx22?zy?2.则 当z?x2?y2，1?zx222222(x?y)dS?(x?y)dS?(x?y)dS. ??????SS1S2?2x?y?1??(x2?y2)dxdy?22x?y2?12?1??2(x2?y2)dxdy
?(1?2)?d??r3dr00??2(1?2)?x2?y222?22,x?y?02.(15分)考察函数f(x,y)??x?y在点(0,0)可微性. 22,x?y?0?0?解 本人感觉此题有问题，应当是
?x3?y322?22,x?y?0f(x,y)??x?y 22,x?y?0?0?若不是，显然fx(0,0)和fy(0,0)都不存在，lim??0f(?x,?y)?f(0,0)??xfx(0,0)??yfy(0,0)p也不存在，故不可微. 下面给出我个人看法：
f(?x,0)?f(0,0)?x?lim?1?x???x???x?x
f(0,?y)?f(0,0)??yfy(0,0)?lim?lim??1?x???x???y?yfx(0,0)?lim而
lim??0f(?x,?y)?f(0,0)??xfx(0,0)??yfy(0,0)p
?(?x,?y)?(0,0)lim?x3??y3??x??y22?x??y?x??y32222
?(?x,?y)?(0,0)lim?x?y(?x??y)(?x2??y)322
?limk?k2(1?k)?y?k?x?x?0
与k取值关于，故此极限不存在，因此f(x,y)在点(0,0)不可微. 3.(15分)求空间一点(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0最短距离. 解 设(x,y,z)为平面Ax?By?Cz?D?0上任意一点，则目的函数为
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2.
2021年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答
