专题复习检测
A卷
1.已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=( ) A.3 1C.
3【答案】B
2.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ) 1
A.x=-
2C.x=5 【答案】D
→→
3.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( ) A.5 C.5 【答案】C
4.(2019年山东模拟)已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a在b方向上的投影为( ) A.1 1C.
2【答案】D
【解析】由a⊥(a-b),可得a·(a-b)=a2-a·b=0,所以a·b=a2=1.所以向量a在b方向2a·b1
上的投影为|a|cos 〈a,b〉===.故选D.
|b|22
→→
5.(2019年湖南怀化模拟)在△ABC中,D为BC上一点,E是AD的中点,若BD=λDC,→1→→
CE=AB+μAC,则λ+μ=( )
3
1A.
37C.
6【答案】B
1→λ→→→→→→→→
【解析】如图所示,由BD=λDC,可得AD-AB=λ(AC-AD),则AD=AB+AC.
1+λ1+λ1→-λ-2→→→→→1→→1→
又E是AD的中点,所以CE=CA+AE=-AC+AD=AB+AC.又CE=AB+
232?1+λ?2?1+λ?
1
B.-
37D.-
6B.2 D.
2 2B.25 D.10 B.x=-1 D.x=0 B.-3 1D.-
3
11-λ-2151→
μAC,AB,AC不共线,所以=,=μ,解得λ=,μ=-,则λ+μ=-.故选
2632?1+λ?32?1+λ?B.
6.(2017年新课标Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________. 【答案】23
【解析】|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=4+4×2×1×cos 60°+4=12,∴|a+2b|=12=23. 7.(2019年新课标Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos 〈a,c〉=________.
2
【答案】
3
【解析】a·c=a·(2a-5b)=2a2-5a·b=2,c2=(2a-5b)2=4a2-45a·b+5b2=9,则 a·c2|c|=3.所以cos 〈a,c〉==. |a||c|3
→→
8.(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC中,AB=3,BC=2AC=2,满足|BA-tBC|≤3→
|AC|的实数t的取值范围是________.
30,? 【答案】??2?BA2+BC2-AC23+4-13→→→→
【解析】由题意,得AC=1,cos〈BA,BC〉===.由|BA-tBC
2BA·BC23×223→→→→→→→→
|≤3|AC|,得BA2-2t|BA||BC|cos〈BA,BC〉+t2BC2≤3AC2,即3-2t×23×+4t2≤3,解
23
得0≤t≤. 2
9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)求|a+b|的值;
(2)当(a+2b)⊥(ka-b)时,求k的值.
1
-?=-16, 【解析】(1)由已知,得a·b=4×8×??2?∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=43.
(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0. ∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7.
10.已知向量a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x),函数f(x)=a·b.
π
(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;
6(2)当a≠0,a与b共线时,求f(x)的值. 【解析】(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin xcos x π
2x+?+1, =sin 2x+cos 2x+1=2sin?4??ππ
x-?+?+1 ∴g(x)=2sin?2???6?4?π
2x-?+1. =2sin?12??
πππ
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
21225π7π
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
2424
5π7π
-+kπ,+kπ?,k∈Z. ∴g(x)的单调递增区间为?24?24?(2)∵a≠0,a与b共线,∴cos x≠0.
∴sin xcos x-4cos2x=0.∴sin x=4cos x,tan x=4.
2cos2x+2sin xcos x2+2tan x10
则f(x)=2cos2x+2sin xcos x==2=.
sin2x+cos2xtanx+117
B卷
11.(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则→→→
PA·(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 4
C.-
3【答案】B
【解析】如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线DA所在直线为y轴,D为坐→
标原点建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-→→→→→→→y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),∴PB+PC=(-2x,-2y),PA·(PB+PC)=2x2-
3
B.-
2D.-1