专题10立体几何与空间向量解答题
历年考题细目表
题型 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 年份 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010 考点 空间向量在立体几何中的应用 空间角与空间距离 空间角与空间距离 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间向量在立体几何中的应用 空间角与空间距离 试题位置 2019年新课标1理科18 2018年新课标1理科18 2017年新课标1理科18 2016年新课标1理科18 2015年新课标1理科18 2014年新课标1理科19 2013年新课标1理科18 2012年新课标1理科19 2011年新课标1理科18 2010年新课标1理科18 历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且又MB∥AA1，MB
，
，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点， ∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE， ∴NM∥DE，
∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE， ∴MN∥平面C1DE；
（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（
，1，2），A1（，﹣1，4），
，
设平面A1MN的一个法向量为由
，取x
， ， ，得
，
又平面MAA1的一个法向量为∴cos
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为
． ．
，
2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则
，
，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF． 又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD． （2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF， 则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，
2021高考数学立体几何与空间向量解答题专题
