8.1 向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念
学 习 目 标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点) 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点) 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点) 核 心 素 养 1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养． 2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.
1.两个向量的夹角
→→
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作OA＝a，OB＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． π(2)当〈a，b〉＝2时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. 2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
π??
(1)当〈a，b〉∈?0， 2?时，a·b>0;
??
π
当〈a，b〉＝2时，a·b＝0； ?π?
当〈a，b〉∈?2，π?时，a· b<0.
??(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
不等式 恒等式 向量垂直 的充要条件 3.向量的投影与向量数量积的几何意义 (1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
|a·b|≤ |a||b| a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝a·a a⊥b ?a·b＝0
π
1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为3，则a在b方向上的投影为( ) 333213A．2 B．2 C．2 D．2
π3
D [向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos 3＝2.故选D．]
2019-2020学年新教材人教B版第三册学案：第8章 8.1 8.1.1向量数量积的概念
