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五、应用题( 本题20分)
1．设生产某种产品q个单位时的成本函数为:
C(q)
100
0.25q
2
6q( 万元) ,
平均成本和边际成本; ( 2)
当产
求: ( 1) 当q10时的总成本、
量q为多少时, 平均成本最小? 解: ( 1)
总成本C(q)1000.25q2平均成本C(q)
100q
0.25q
6q, 6,
边际成本C(q)0.5q6．因此,
C(10)C(10)C(10)
10010010
0.251020.25106100q
2
6106
185( 万元) ,
18.5( 万元)
0.510
11．( 0.25
万元)
0,
( 2)
因为q
令C(q)
得q20( q20舍去) ．
20是其在定义域内唯一驻点, 且该问题确实存在最小
值, 因此当q20时, 平均成本最小.
2．.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为
C(q)
20
4q
0.01q
2
( 元) , 单位销售价格为
p140.01q
( 元/件) ,
问产量为多少时可使利润达到最大解: 成本为: C(q)
收益为: R(q)利润为: L(q)
20qpR(q)
4q14q
0.01q0.01q
2
? 最大利润是多少．
2
C(q)10q0.02q
2
20
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L(q)10
0.04q, 令L(q)100.04q0得, q250是惟一驻点, 利, 且
润存在最大值, 因此当产量为250个单位时可使利润达到最大最大利润为L(250)102500.022502201230( 元) 。
3．投产某产品的固定成本为36(万元),
C(q)
2q
40(万元/
且边际成本为
百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本
的增量, 及产量为多少时, 可使平均成本达到最低．解: 成本函数为: C(q)
q0
(2x40)dx36
当产量由4百台增至6百台时, 总成本的增量为
6
C
4
(2x
q0
40)dx(2x40
x|
2
6
4
40x|q
2
64
100( 万元)
40q
36
C(q)C(q)
40)dx36q
36
q
C(q)1
36q
2
, 令C(q)1
36q
2
0得, q
6,q
6( 负值舍去) 。
q
6是惟一驻点, 平均成本有最小值, 因此当x6( 百台) 时可使
平均成本达到最低.
3、投产某产品的固定成本为
36( 万元) ,
且边际成本为
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C(q)2q
60( 万元/百台) 。试求产量由4百台增至6百台时总成
本的增量, 及产量为多少时, 可使平均成本达到最低。
解: 成本函数为: C(q)
q0
(2x60)dx36
当产量由4百台增至6百台时, 总成本的增量为
6
C
4
(2x
q0
60)dx(2x
x|
2
64
60x|q
2
64140( 万元)
60q
36
C(q)60)dx36q
36
C(q)q60
C(q)1
36q
2
, 令C(q)1
36q
2
0得, q
6,q
6( 负值舍去) 。
q
6是惟一驻点, 平均成本有最小值, 因此当x6( 百台) 时可使
平均成本达到最低。
4．已知某产品的边际成本C(q)=2( 元/件) , 固定成本为0, 边际
?
收益R(q)120.02q, 求: ①产量为多少时利润最大
②在最大利润产量的基础上再生产化?
解: 边际利润为: L(q)
R(q)
C(q)
10
0.02q
50件, 利润将会发生什么变
令L(q)0得, q500。q500是惟一驻点, 最大利润存在, 因
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此
①当产量为500件时, 利润最大。②
550
L
500
(100.02x)dx10x|
550500
0.01x|
2
550500
- 25( 元)
即利润将减少25元。
5．已知某产品的边际成本为
C(q)4q
3(万元/百台), q为产量(百
台), 固定成本为18(万元), 求最低平均成本. 解: 因为总成本函数为
C(q)
(4q3)dq=2q
2
3qc
当q= 0时, C(0) = 18, 得c =18, 即
3q
18
C(q)=2q2
又平均成本函数为
A(q)
C(q)q0,
2q3
18q
令A(q)
2
18q
2
解得q= 3 (百台)
. 因此当x = 3时, 平均成
该问题确实存在使平均成本最低的产量本最低. 最底平均成本为
A(3)
233
183
9 (
万元/百台)
q (
6、已知生产某产品的边际成本为函数为R(q)10q
12q
2
C(q)4
万元/百台), 收入
, 如果
( 万元) , 求使利润达到最大时的产量
200台,
在最大利润的产量的基础上再增加生产利润将会发生怎样
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的变化?
解: 边际利润为: L(q)
R(q)
C(q)
10
q
4
q
6
2q
令L(q)0得, q3q3是惟一驻点, 而最大利润存在, 因此当产量为3百台时, 利润最大。当产量由润改变量为
L
53
3百台增加到5百台时, 利
(62x)dx6x|
53
x|
253
6(53)(5
2
3)
2
1216
4( 万元) 即利润将减少4万元。
7..设生产某产品的总成本函数为
C(x)5
x(万元R(x)
), 其中x为产
11
2x(
量, 单位: 百吨．销售x百吨时的边际收入为百吨) , 求: ⑴利润最大时的产量
万元/
; ⑵在利润最大时的产量的基础
?
上再生产1百吨, 利润会发生什么变化.解: ⑴因为边际成本为
L(x)
R(x)
C(x)
C(x)10
1, 2x
边际利润
令L(x)0, 得x5能够验证x5为利润函数L(x)的最大值点. 因此,
当产量为5百吨时利润最大.
⑵当产量由5百吨增加至6百吨时, 利润改变量为
L
65
(102x)dx(10x
x)5
2
6
1( 万元)
即利润将减少1万元.
8..设生产某种产品x个单位时的成本函数为:
2020年-2021年中央电大经济数学基础应用题和计算题考点版
