从这袋中任取一球? 求此球为白球的概率? (2)从不同的三个袋中任挑一袋? 并由其中任取一球? 结果是白球? 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？
★4? 发报台分别以概率0?6和0?4发出信号 “·” 及 “?”? 由于通信系统受到于扰? 当发出信号 “·” 时? 收报台分别以概率0?8及0?2收到信息 “·” 及 “?”? 又当发出信号 “?” 时? 收报台分别以概率0?9及0?l收到信号 “?” 及 “·”? 求: (1)收报台收到 “·”的概率?(2)收报台收到“?”的概率?(3)当收报台收到 “·” 时? 发报台确系发出信号 “·” 的概率?(4)收到 “?” 时? 确系发出 “?” 的概率?
记事件B={收到信号 “·”}?A1={发出信号 “·”}?A2={发出信号“?”}. (1) P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?0.6?(1?0.2)?0.4?0.1?0.52; (2) P(B)?1?P(B)?1?0.52?0.48;
P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.6?0.812?(3) P(A1|B)????0.923; P(B)P(B)0.5213(4)P(A2|B)?P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.4?0.93???0.75. ?0.484P(B)P(B)5? 对以往数据分析结果表明? 当机器调整良好时? 产品合格率为90%? 而机器发生某
一故障时? 产品合格率为30%? 每天早上机器开动时? 机器调整良好的概率为75%? (1)求机器产品合格率?
(2)已知某日早上第一件产品是合格品? 求机器调整良好的概率? 记事件B={产品合格}?A={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.75?0.9?0.25?0.3?0.75,
(2) 由贝叶斯公式得P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)0.75?0.9???0.9. P(B)P(B)0.75☆.系统(A)? (B)? (C)图如下? 系统(A)? (B)由4个元件组成? 系统(C)由5个元件组成? 每
个元件的可靠性为p? 即元件正常工作的概率为p? 试求整个系统的可靠性.
(A) (B) (C) 记事件A={元件5正常}?B={系统正常}. (A) P(B|A)?(1?(1?p)(1?p))2?p2(4?4p?p2), (B) P(B|A)?1?(1?p2)(1?p2)?p2(2?p2), (C) 由全概率公式得
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
?p?p2(4?4p?p2)?(1?p)p2(2?p2) ?2p2?2p3?5p4?2p5.
第四次作业
1? 在15个同型零件中有2个次品? 从中任取3个? 以X表示取出的次品的个数? 求X的分布律.
k2?kC2C13P(X?k)?,k?0,1,2. 3C150 1 2 X P 22/35 12/35 1/35 ☆.经销一批水果? 第一天售出的概率是? 每公斤获利8元? 第二天售出的概率是? 每公斤获利5元? 第三天售出的概率是? 每公斤亏损3元? 求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数?
?3 5 8 X P 0.1 0.4 0.5 ?0,x??3,?F(?3)?P(X??3)?0.1,?3?x?5,?F(x)??
?F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.1?0.4?0.5,5?x?8,??F(8)?1,x?8.2? 抛掷一枚不均匀的硬币? 每次出现正面的概率为2/3? 连续抛掷8次? 以X表示出
现正面的次数? 求X的分布律.
?2??1?X:B(n?8,p?2/3),P(X?k)?C8k????,k?0,1,L,8.
?3??3?3? 一射击运动员的击中靶心的命中率为? 以X表示他首次击中靶心时累计已射击的次数? 写出X的分布律? 并计算X取偶数的概率?
X:G(p?0.35),P(X?k)?pqk?1?0.35?0.65k?1,k?1,2L.
k8?k?P(X奇)+P(X偶)=1,?P(X偶) ?P(X奇)=,?q?q0.6513??B0.394. 解得P(X偶)=1?q1?0.65334? 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机? 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为?求在同一时刻?
(1)恰有2个刷卡机被使用的概率?(2)至少有3个刷卡机被使用的概率? (3)至多有3个刷卡机被使用的概率?(4)至少有一个刷卡机被使用的概率? 在同一时刻刷卡机被使用的个数X:B(n?4,p?0.1).
2?0.12?0.92?0.00486, (1) P(X?2)?C43?0.13?0.9?0.14?0.0037, (2) P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C4(3) P(X?3)?1?P(X?4)?1?0.14?0.9999,
(4)P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.94?1?0.6561?0.3439.
5? 某汽车从起点驶出时有40名乘客? 设沿途共有4个停靠站? 且该车只下不上? 每个
乘客在每个站下车的概率相等? 并且相互独立? 试求? (1)全在终点站下车的概率? (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率? (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率? 记事件A={任一乘客在终点站下车}?乘客在终点站下车人数X:B(n?40,p?1/4).
?1?(1) P(X?40)????8.2718?10?23,
?4?43?3??3?11?3?(2) P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1????C40????1????
4?4?3?4??4??1?0.000134088?0.999865912.
(3) 记事件B={任一乘客在后两站下车}?乘客在后两站下车人数Y:B(n?40,p?1/2).
20C40?1??1?P(Y?20)?C?????40?0.1268.(精确值)
2?2??2?2040202040394040?n?应用斯特林公式n!B2n???,
?e?40!C40?1??1?? P(X?20)?C?????40240(20!)22?2??2?40?40?2?40???1?e??B0.1262. B20225???20??402?20????2???e????其中??3.1415926536,??1.7724538509.
2040202020n参?贝努利分布的正态近似?
6? 已知瓷器在运输过程中受损的概率是? 有2000件瓷器运到? 求? (1)恰有2个受损的概率? (2)小于2个受损的概率? (3)多于2个受损的概率? (4)至少有1个受损的概率? 受损瓷器件数X:B(n?2000,p?0.002),近似为泊松分布P(??n?p?4).
42?4e?8e?4?0.146525, (1) P1?2!?4?(2) P2??1??e?4?5e?4?0.0915782,
?1!??4?0.761897, (3) P3?1?P1?P2?1?13e(4) P4?1?e?4?0.981684.
7? 某产品表面上疵点的个数X服从参数为的泊松分布? 规定表面上疵点的个数不超过
2个为合格品? 求产品的合格品率?
?1.21.22??1.2?1.2?产品合格品率P??1??e?2.92e?0.879487. 1!2!??★8? 设随机变量X的分布律是
?3 5 8 X P 0.2 0.5 0.3 求?X的分布函数? 以及概率P(3?X?6),P(X?1),P(X?5),P(|X|?5). 随机变量X的分布函数为
?0,x??3,?F(?3)?P(X??3)?0.2,?3?x?5,?F(x)??
F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.2?0.5?0.7,5?x?8,???F(8)?1,x?8.P(3?X?6)?P(X?5)?0.5,
P(X?1)?P(X?5)?P(X?8)?0.5?0.3?0.8,
P(X?5)?P(|X|?5)?F(5)?P(X??3)?P(X?5)?0.2?0.5?0.7,
第五次作业
1? 学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位? 小时)? 其密度函数是
?kx2?x,0?x?0.5 f(x)??
0,其他?试求? (1)系数k? (2)X的分布函数? (3)在15分钟内完成一道作业的概率? (4)在10到20分
钟之间完成一道作业的概率? (1) 1?F(0.5)??0.501?k1?kkx2?xdx??x3?x2???,k?21,
32248??00.5?0,x?0?x1?(2) F(x)??P(X?x)??21x2?xdx?7x3?x2,0?x?0.5,
02???F(0.5)?1,x?0.5.x9?1??1?1?1?(3) F???P(X?x)??21x2?xdx?7???????0.140625,
0?4??4?2?4?6411?29?1?1??1??1?1?1?(4) P??X???F???F????1321x2?xdx?7??????.
3??6?3??6?6?4?2?4?108
32322? 设连续型随机变量X服从区间[?a? a](a?0)上的均匀分布? 且已知概率P(X?1)?? 求? (1)常数a? (2)概率P(X?)?
1a?11dx??,a?3, 12a2a31111?1?5(2) P(X?)??3dx??3???.
?3636?3?91313(1) P(X?1)??a
3? 设某元件的寿命X服从参数为? 的指数分布? 且已知概率P(X?50)?e?4? 试求?(1)参数? 的值? (2)概率P(25?X?100) ?
??x,x?0. 补分布S(x)@P(X?x)???e??xdx??e??x|??x?ex??(1) S(50)?P(X?50)???e??xdx?e?50??e?4,??(2) 由S(rx)?e??rx2?0.08,
50251?Sr(x),r,x?0,取x?50,依次令r?,2,得
2??12S(25)?P(X?25)?S(50)?e?2,S(100)?P(X?100)?S2(50)?e?8?0.0003354563,
其中eB2.7182818284.
P(25?X?100)?P(X?25)?P(X?100)?e?2?e?8 ?0.13533465?0.0003354563?0.1349991937.
4? 某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为
1?1200800321的指数分布? 求? (1)任取1只灯泡800使用时间超过1200小时的概率? (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率? (1) P(X?1200)?e??e??0.2231301602,
此处e?1.6487212707001. (2) P(X?1200)?e3?92?0.0111089965.
5? 设X~N(0? 1)? 求? P(X?0?61)? P(?2?62?X?1?25)? P(X?1?34)? P(|X|?2?13)? (1) P(X?0.61)??(0.61)?0.72907,
(2) P(?2.62?X?1.25)??(1.25)??(?2.62)??(1.25)??(2.62)?1
?0.89435?99560?1?0.88995,
(3) P(X?1.34)?1??(1.34)?1?0.90988?0.09012, (4)P(|X|?2.13)?2?2?(2.13)?2?2?0.98341?0.03318.
6? 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X~N(4?
1)? 设飞机上午10? 10从甲地起飞? 求? (1)9飞机下午2? 30以后到达乙地的概率? (2)飞机下午2? 10以前到达乙地的概率? (3)飞机在下午1? 40至2? 20之间到达乙地的概率?
13?13????31/3?4?(1) P?X???1?P?X???1?????1??(1)?1?0.84134?0.15866,
3?3????1/3?(2) P(X?4)??(0)?0.5,
25??7?25/6?4??7/2?4???(3) P??X????????
6??2?1/3??1/3??1??3??????????1?0.69146?0.93319?1?0.62465.
?2??2?
★7? 设某校高三女学生的身高X~N(162? 25)? 求? (1)从中任取1个女学生? 求其身高超
过165的概率? (2)从中任取1个女学生? 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率? (3)从中任取6个女学生? 求其中至少有2个身高超过165的概率?
?X?162165?162???0.6??1??(0.6)?1?0.7258?0.2742, (1) P(X?165)?P?55??
概率论与数理统计作业及解答
