大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1?3521x?2?0，则??__________。
1. 若0?1??x1?x2?x3?0?2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只有零解，则?应满足 。
?x?x?x?023?13．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分别是 阶矩阵。 ?a11?4．矩阵A??a21?a?31a12??a22?的行向量组线性 。 a32??5．n阶方阵A满足A2?3A?E?0，则A?1? 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
?，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，?，as线性相关。3. 向量组a1，a2，（ ）
?0?1?4. A??0??0100000010??0?，则A?1?A。（ ） 1??0?5. 若?为可逆矩阵A的特征值，则A?1的特征值为?。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AAT?（ ）。
① 2n
② 2n?1
③ 2n?1
④ 4
?，?s（3 ? s ? n）线性无关的充要条件是（ ）2. n维向量组 ?1，?2，。
?，?s中任意两个向量都线性无关 ① ?1，?2，?，?s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ② ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ③ ?1，?2，共3页第1页
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④ ?1，?2，?，?s中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n个n?1维向量线性相关 ② 任意n个n?1维向量线性无关 ③ 任意n?1个n 维向量线性相关 ④ 任意n?1个n 维向量线性无关
4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
① 若A，B均可逆，则A?B可逆 ③ 若A?B可逆，则 A?B可逆
② 若A，B均可逆，则 AB 可逆 ④ 若A?B可逆，则 A，B均可逆
5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则?1??2??3??4是A??0的（ ）
① 解向量
② 基础解系
③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
x?abx?bbbccx?ccdddx?d1. 计算行列式
aaa。
解· x?aaaabx?bbbccx?cc1?(x?a?b?c?d)111dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1000bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x3
?3?2. 设AB?A?2B，且A??1?0?0111??0?, 求B。 4???2??2????1?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?2???2 ?3??解.(A?2E)B?A (A?2E)?1
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?1?03. 设B???0?0??11000?1100??2??00?, C???1??0?01???120031204??3?且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。 1?2???1????2?????1???,?3????。
2???a????????
??a?14. 问a取何值时，下列向量组线性相关？?1????2?1???2??1???2???,??a?2??1?????2?
??x1?x2?x3???3?5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多
?x?x??x??223?1解时求其通解。
① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解
??2???1???1???????③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c20
??????????0???0???1??
?1??2??1??3?????????49010????????6. 设?1???, ?2??并将其余向, ??, ??34??3???7?. 求此向量组的秩和一个极大无关组，1?1??????????0???3???1???7?????????量用该极大无关组线性表示。
?1?7. 设A??0?0?0120??0，求A的特征值及对应的特征向量。 ?1??五、证明题 (7分)
?若A是n阶方阵，且AA?I，A??1， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。
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一、填空题 1. 5 2. 5. A?3E 二、判断正误 1. × 2. 三、单项选择题 1. ③ 2. 四、计算题 1.
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??1
3. s?s，n?n
4. 相关 √
3. √
4. √
5. ×
③
3. ③
4. ② 5. ①
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x?aaaabx?bbbccx?cc1dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?dbx?bbbccx?ccdddx?d1bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x3?(x?a?b?c?d)111?(x?a?b?c?d)000 2.
?2??2????1?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?2???2 ?3??(A?2E)B?A (A?2E)?1 3. ?1?0C?B???0??0210032104??1??32'?，(C?B)???32???1??401?21001?2012300120??0?0??1??1??2???1??001?21001?20??0?0??1???C?B?? 4.
'?1?1??2???1??00??0?，X?E?C?B?'0??1?
???1aa1，a2，a3???1212?12??1212?18(2a?1)(2a?2)当a??2a?1212或a?1时，向量组a1，a2，a3线性相
a关。 5.
① 当??1且???2时，方程组有唯一解； ②当???2时方程组无解
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线性代数期末考试试卷+答案
