6.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.3 B.2 C．1 D.3－2答案 D
→→→→
解析 ∵BD＝BF＋FE＋ED，
→→→→→→→→→→
∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－2， →
故|BD|＝3－2.
7．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是( )A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)答案 ABC
解析 对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；
对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．
8．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( )
→→→→
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB＋BC＋CD＋DA＝0
→→→→→→
B．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量→→→→
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，
z∈R)，则P，A，B，C四点共面答案 ACD
解析 对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，
→→→→
则AB＋BC＋CD＋DA＝0，错误；
→→→→
对于B，若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，
→→
则AB∥CD，正确；
对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，不正确；
对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，→→→→
若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，
当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．
→1→→2→→9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN
3 3 2→
＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．3 答案 平行
→→
解析 如图，设VA＝a，VB＝b，
→→
VC＝c，则VD＝a＋c－b， 1→2
由题意知PM＝b－c，
33→2→1→
PN＝VD－VC 3 3 2
2
1
＝a－b＋c.333→3→3→因此VA＝PM＋PN，
2 2 →→→∴VA，PM，PN共面．
又VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.
10．(2024·广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，
→—→—→→①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；
→—→→
②A1C·(A1B1－A1A)＝0；
→→
③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；
→→→
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.
其中正确的序号是________．答案 ①②
→—→—→→—→—→—→—→→
解析 ①中，(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1A2＋A1D12＋A1B12＝3A1B12，故①正确；②中，A1B1－A1A
→→
＝AB1，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但AD1与 →→→→
A1B的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB·AA1·AD|＝0，故④也不正确．
11.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．方法一 ∵CC′⊥平面ABC且CA⊥CB，
∴以点C为原点，分别以CA，CB，CC′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)．
令AC＝BC＝AA′＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C′(0,0,2)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1,1,0)，
→—→
(1)证明 ∴CE＝(0,2,1)，A′D＝(－1,1，－2)，
→—→→—→
∵CE·A′D＝0＋2－2＝0，∴CE⊥A′D，∴CE⊥A′D. →
(2)解 AC′＝(－2,0,2)，
→→CE·AC′102→→
∴cos〈CE，＝＝，AC′〉＝
→→5·810
|CE||AC′|
10即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.10→→→
方法二 设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
111→—→
(1)证明 CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，
222
11111→—→22∴CE·A′D＝－b·c－c＋b＋b·c－a·b－a·c＝0，
22424→—→
∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.
5→→→
(2)解 ∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝2|a|，|CE|＝|a|，
2111→→
AC′·CE＝(－a＋c)·b＋c＝c2＝|a|2， 222
1
→→|a|2AC′·CE10→→2
∴cos〈AC′，＝＝，CE〉＝
→→510
|AC′||CE|2×|a|2
210即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.10
12.如图，正方形ABCD的边长为22，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝3，且FO⊥平面ABCD.
()(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.
证明 取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2，0)，F(0,0，3)，B(1,2,0)．→→→
BC＝(－2，－2,0)，CF＝(1,0，3)，BF＝(－1，－2，3)． (1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则Error!即Error!
取z＝1，得n＝(－3，3，1)．又四边形BDEF为平行四边形，→→
∴DE＝BF＝(－1，－2，3)， →→→→→∴AE＝AD＋DE＝BC＋BF ＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)，
→→
∴AE·n＝33－43＋3＝0，∴AE⊥n， 又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF.→
(2)AF＝(－3,0，3)，
→→→→
∴CF·AF＝－3＋3＝0，CF·AE＝－3＋3＝0， →→→→
∴CF⊥AF，CF⊥AE，即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴CF⊥平面AEF.
→→→→→→
13．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC
中点，则△AMD是( )A．钝角三角形 C．直角三角形 答案 C
→1→→
解析 ∵M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，
2
B．锐角三角形D．不确定
2024新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.5
