→→
(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
→→→
解 (1)记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，1
∴a·b＝b·c＝c·a＝.2
111→12
2222|AC|＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＋＋＝6，
222→
∴|AC1|＝6，即AC1的长为6.
→→
(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b， →→
∴|BD1|＝2，|AC|＝3，
→→
BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
→→BD1·AC6→1→
∴cos〈BD，＝.AC〉＝
→1→6
|BD||AC| 6→1→
即BD与AC夹角的余弦值为. 6
向量法证明平行、垂直
例4 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
()(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.
证明 以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M
33→→→
∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，CM＝，0，. 22(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则Error!即Error!
令y＝2，得n＝(－3，2,1)．
33→
∵n·CM＝－3×＋2×0＋1×＝0，
22→∴n⊥CM.
又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.
→→
(2)方法一 由(1)知，BA＝(0,4,0)，PB＝(23，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量m＝(x0，y0，z0)，则Error!即Error!
令x0＝1，得m＝(1,0，3)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2,1)，∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m⊥n，∴平面PAB⊥平面PAD.
方法二 如图，取AP的中点E，连接BE，→
则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
→→
又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，
→→
∴BE⊥DA，∴BE⊥DA.
((3，0，，
22
3
))又PA∩DA＝A，PA，DA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.
又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.思维升华 (1)用向量证明平行的方法
①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量．
②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量．(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直．
②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直．
跟踪训练4 如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝
1
2AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：
2
(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.
证明 由二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面BAC.又∵AB＝AC，BC＝2AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°且CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直．
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0，2,2)．
→→→
(1)A1B1＝(0,2,0)，A1A＝(0,0，－2)，AC＝(2,0,0)，
设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则Error!即Error!
即Error!取y＝1，则n＝(0,1,0)．→→
∴A1B1＝2n，即A1B1∥n， ∴A1B1⊥平面AA1C.
→→→
(2)易知AB1＝(0,2,2)，A1C1＝(1,1,0)，A1C＝(2,0，－2)，
设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则Error!即Error!
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．→→
∴AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴AB1⊥m. 又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.
1
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于( )
2A．(0,3，－6) C．(0,6，－6) 答案 B
1
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
22．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )14
A．－2 B．－ C. D．2
35答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
14
B．(0,6，－20)D．(6,6，－6)
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
5π2πππA. B. C. D.6336答案 D
解析 ∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，
a·b
∴cos〈a，b〉＝
|a||b|
＝
32×
3＝，62
π
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.
64．(2020·北京海淀区模拟)在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 A
解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
π
5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，
3→→
点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为( )
5711
A.3 B.3 C.3 D.2444答案 B
→
解析 |OA|＝?2a＋b?2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝7，
→→
OA·OB6|a|2－|b|2＋a·b1153→
同理|OB|＝7，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝， →→14714
|OA||OB| 53531
∴△OAB的面积S＝×7×7×＝，故选B.
14425
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.5
