11→→11
∴MP＋NC＝a＋b＋c＋a＋c 2223
1
3
()()＝a＋b＋c.222
思维升华 用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
→→→1跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA
→→
表示OC1，则OC1＝________________.
1→1→→答案 AB＋AD＋AA1
2 2
→1→1→→
解析 ∵OC＝AC＝(AB＋AD)，
2 2 →1→→11→→→
∴OC＝OC＋CC＝(AB＋AD)＋AA1
2 1→1→→＝AB＋AD＋AA1.
2 2
→→→
(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
→→
用a，b，c表示NM，则NM等于( )
1
A.(－a＋b＋c)
2
1
B.(a＋b－c)2
1
C.(a－b＋c)2答案 B
1→→→→→→
解析 NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB
2
1
D.(－a－b＋c)2
→1→1→→1→1→1→＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC 2 2 2 2 2 1
＝(a＋b－c)．2
共线定理、共面定理的应用
例2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.证明 (1)连接BG，
→→→则EG＝EB＋BG →1→→＝EB＋(BC＋BD) 2 →→→＝EB＋BF＋EH →→＝EF＋EH，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．→→→(2)因为EH＝AH－AE
1→1→
＝AD－AB2 2
1→→1→＝(AD－AB)＝BD，
2 2 所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
思维升华 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线→→
PA＝λPB且同过点P →→对空间任一点O，OP＝OA＋t
→AB
→→
对空间任一点O，OP＝xOA＋
→
(1－x)OB
空间四点(M，P，A，B)共面
→→→MP＝xMA＋yMB
→→→
对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋y
→MB
→→→
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1
→
－x－y)OB
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满→→→→
足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．
→→→
(1)向量MN是否与向量AB，AA1共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？→→→→
解 (1)∵AM＝kAC1，BN＝kBC，
→→→→
∴MN＝MA＋AB＋BN →→→＝kC1A＋AB＋kBC
→→→＝k(C1A＋BC)＋AB
→→→＝k(C1A＋B1C1)＋AB
→→→→＝kB1A＋AB＝AB－kAB1
→→→＝AB－k(AA1＋AB) →→＝(1－k)AB－kAA1，
→→→
∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，
当0 又由(1)知MN与AB，AA1共面， ∴MN∥平面ABB1A1. 综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0 空间向量数量积及其应用 例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点． (1)求证：EG⊥AB；(2)求EG的长； (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．→→→ (1)证明 设AB＝a，AC＝b，AD＝c， →1→→→1 由题意知EG＝(AC＋AD－AB)＝(b＋c－a)， 2 2→→1 所以EG·AB＝(a·b＋a·c－a2) 21 ＝1×1×＋1×1×－1＝0.222→→ 故EG⊥AB，即EG⊥AB. (11 )111→ (2)解 由题意知EG＝－a＋b＋c， 222 111→21212121 |EG|＝a＋b＋c－a·b＋b·c－c·a＝， 444222222→ 则|EG|＝，即EG的长为. 22→1→→11(3)解 AG＝(AC＋AD)＝b＋c， 2 221→→→ CE＝CA＋AE＝－b＋a， 2→→ AG·CE →→ cos〈AG，CE〉＝ →→ |AG||CE| ＝ ()()()()b＋c·－b＋a2221b＋c22－12321 2· 111 12 a－b 2 2＝－， 3 π2 ＝ 32 × 由于异面直线所成角的范围是0， 2 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. 3 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置． (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解． 跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (]， → (1)求AC1的长；
2024新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.5
