§7.5 空间向量及其应用
1．空间向量的有关概念
名称零向量单位向量相等向量相反向量共线向量共面向量
概念模为0的向量长度(模)为1的向量方向相同且模相等的向量方向相反且模相等的向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
平行于同一个平面的向量
a＝b
a的相反向量为－a
a∥b表示0
2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b
π
的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，
2记作a⊥b.②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
数量积共线垂直模
a·b
a＝λb(b≠0，λ∈R)a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
cos〈a，b〉＝
夹角余弦
a·b|a||b|
(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
坐标表示a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
1＋2＋2
a2aa3
a1b1＋a2b2＋a3b3
1＋2＋21＋2＋2a2aa3·b2bb35.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)
位置关系
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
平面α，β的法向量分别为n，m
l1∥l2l1⊥l2l∥αl⊥αα∥βα⊥β
向量表示n1∥n2?n1＝λn2n1⊥n2?n1·n2＝0n⊥m?n·m＝0n∥m?n＝λmn∥m?n＝λmn⊥m?n·m＝0
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？
提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a·b)c＝a(b·c)．( × )(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
→→→→
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ )
题组二 教材改编
→→
2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝
→→
b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
1111
A．－a＋b＋c 2211
C．－a－b＋c
22答案 A
B.a＋b＋c2211D.a－b＋c22
1→→→→1→→
解析 BM＝BB＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2 111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．答案 2→→→→→解析 |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2
→→→→→→→→→
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，→
∴|EF|＝2，∴EF的长为2.
题组三 易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )A．垂直 C．异面 答案 B
→→
解析 由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，
→→→→
∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
→3→1→→
5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C
4 8 四点共面，则实数t＝______.
1答案
8
B．平行
D．相交但不垂直
解析 ∵P，A，B，C四点共面，1
∴＋＋t＝1，∴t＝.488
6．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．答案 α⊥β α∥β
解析 当v＝(3，－2,2)时，μ·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v，所以α⊥β；当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，μ∥v，所以α∥β.
7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________，以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．答案 120° 60°
解析 由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.因为a·c＝4，所以b·c＝
b·c
－18，所以cos〈b，c〉＝的夹角为60°.
|b|·|c|
＝12×
－18
1
＝－，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线
1＋4＋42
31
空间向量的线性运算
→→→
例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P
分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→
(1)AP； →(2)A1N； →→(3)MP＋NC1.
解 (1)∵P是C1D1的中点，
1→1→→1→→→1→11111∴AP＝AA＋AD＋DP＝a＋AD＋DC＝a＋c＋AB＝a＋b＋c. 2 2 2(2)∵N是BC的中点，
1→→→→→11∴AN＝AA＋AB＋BN＝－a＋b＋BC 2 1→1＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.
2 2(3)∵M是AA1的中点，→→→1→→
∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP 2
1
＝－a＋a＋c＋b221
1＝a＋b＋c，22
→1→→11→→11→→1又NC＝NC＋CC＝BC＋AA＝AD＋AA 2 2 1＝c＋a，2
(1
)
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.5
