图2 评价学生综合素质的层次结构图
(2)根据相对重要性比例标度 对7个素质评价指标构造判断矩阵，并进行计算。结果见表3 。
指标 道德 实践 学习 交流与合作 创新 运动与健康
道德 实践 学习 交流与合作 创新 运动与健康 审美与表现 1 1/4 1/3 1/6 1/3 1/5 1/7
4 1 5 1/4 3 1/2 1/6
3 1/5 1 1/6 1/2 1/5 1/7
6 4 6 1 5 1/3 1/4
3 1/3 2 1/5 1 1/6 1/7
5 2 5 3 6 1 1/2
7 6 7 4 7 2 1
排序 0.349 0.094 0.248 0.054 0.189 0.041 0.024
审美与表现
表3 7个素质评价指标的判断矩阵及计算结果
(3)结合四个学生的基本情况，根据相对重要性比例标度，分别构造四个学生对于7个素质评价指标的判断矩阵，并进行计算。
表4 相对于道德品质的计算结果 表5相对于实践能力的计算结果
表6 相对于学习能力的计算结果 表7相对于交流与合作能力的计算结果
表8 相对于创新能力的计算结果 表9 相对于运动与健康的计算结果
表10相对于审美与表现的计算结果
(4)进行层次总排序，由以上判断矩阵可得4名学生的排序结果(表11)
学生 道德品质 A B C D
0.349 0.300 0.300 0.100 0.300
实践
学习
交流与合作 0.054 0.043 0.160 0.475 0.321
创新 0.189 0.130 0.385 0.385 0.100
运动与健康 审美与表现 0.041 0.283 0.019 0.043 0.556
0.024 0.556 0.043 0.119 0.283
排序 0.194 0.305 0.217 0.283
0.094 0.248 0.066 0.125 0.212 0.375 0.510 0.125 0.212 0.375
表11 4名学生的综合素质排序结果
相比较之下,学生B的综合素质比较高, 所以应选学生B为优秀学生。 层次分析法的若干问题
1.正互反阵的最大特征根和特征向量求法。
对于阶数较高的矩阵特征向量，如果矩阵正互反阵，可以由下面三种简便的近似方法计算其特征根和特征向量。 幂法：
Step1任取n维归一化初始向量w(0).
~(k?1)?Aw~(k),k?0,1,2,?. Step2计算w
~?k?1?w(k?1)(k?1)~Step3w归一化，即令w. ?n~?k?1??wii?1Step4对于预先给定的精度?，当wi(k?1)?wi(k)??(i?1,2,?,n)时，w(k?1)即为所求的特征向量；否则返回Step2.
~(k?1)1nwStep5计算最大特征根???i(k).
ni?1wi和法：
~?aij. Step1将A的每一列向量归一化得wijn?aiji?1~按行求和得w~?wStep2对w?~ij. ijii?1n~wT~Step3将wi归一化wi?ni,w??w1,w2,?,wn?.
~?wii?11n(Aw)iStep4计算???，作为最大特征根的近似值.
ni?1wi这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不严重，则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。 根法：
~?aij. Step1将A的每一列向量归一化得wijn?aiji?1?n~?~~?Step2对wij按行求积并开n次方，即wi????wij??j?1?
1/n.
~wT~Step3将wi归一化wi?ni,w??w1,w2,?,wn?. ~?wii?11n(Aw)iStep4 计算???，作为最大特征根的近似值.
ni?1wi比较上面的三种方法，不难发现和法最为简便，因此也是我们最常用的方法。
2. 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？ 不完全层次结构
上层每一元素与下层所有元素相关联，这种层次结构称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构，不完全层次结构又分为两种，一种为不完全层次出现在准则层与子准则层之间，这种不完全结构容易处理，我们将不支配的那些因素的权向量分别简单的置0，就可以用完全层次结构的办法处理，但如果不完全结构出现在准则层与方案层之间，则处理起来就有些麻烦，我们看下面的例子。
例 评价教师贡献的层次结构(图3)，该图中C1,C2支配元素的数目不等，此层次结构称为不完全层次结构。
?2??2?设第2层对第1层权向量w?2??w1已定，第3层对第2层权向量 ,w2?3??3??3??3??3??3??3??计讨论由w?2?,W?3???w1?3?,w2w1?3??w11,w12,w13,0，w2?0,0,w23,w24已得，
TT??T????算第3层对第1层权向量w?3?的方法。
贡献O
教学C1 科研C2
P1 P2 P3 P4
图3评价教师贡献的层次结构
我们首先考察一个特例：若C1,C2重要性相同, 则w?2?TT?11???,?，?22?TP1,P2,P3,P4能力相同, w1?3?11??111??3????,,,0?,w2??0,0,,?，则公正的评价应22??333??为：P1:P2:P3:P41:1:2:1。
若不考虑支配元素数目不等的影响，仍用w(3)?W(3)w(2)计算，则
w?3??1151???,,,? ?66124??2?T意味着支配元素越多权重越大，显然是不合理的。
用支配元素数n1,n2对w?2?加权修正，修正为w，再计算w?3?。
~(2)令w?nw?(2),n2w2(2)(nw?n2w2(2)11(2)11?T~(2)，再用w(3)?W(3)wTT计算。本例中
~(2)n1?3,n2?2,w?32??1121???,?，计算得w?3???,,,?，表明支配元素越多权?55??5555?重越小与公正的评价相吻合。
成对比较阵残缺时的处理
专家或有关人士由于某种原因会无法或不愿对某两个因素给出相互对比的结果aij，于是成对比较阵出现残缺。如何对此作修正，以便继续进行权向量的计算呢？
???11例 设一成对比较阵为A???2????2112????2?，?为残缺元素，试对此残缺阵进行??1??处理。
层次分析法评价模型
