1．5.3 定积分的概念
1．了解定积分的概念． 2．理解定积分的几何意义． 3．掌握定积分的基本性质．
1．定积分的概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜x2＜?＜xi?＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，?，n)，作和式______________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作____________________，这里a与b分别叫做__________与________，区间[a，b]叫做________，函数f(x)叫做_______，x叫做__________，f(x)dx叫做________．
【做一做1】 定积分
?baf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关 2．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分________和__________所围成的曲边梯形的面积．
在区间[a，b]上函数f(x)＜0时，
?baf(x)dx表示由
?baf(x)dx表示的含义是什么？
【做一做2】 用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算)S＝__________.
3．定积分的基本性质 (1)∫bakf(x)dx＝__________(k为常数)； (2)∫bf2(x)]dx＝________±________； a[f1(x)±(3)∫baf(x)dx＝________＋________(其中a＜c＜b)．
(1)定积分的性质(1)(2)称为定积分的线性性质．定积分的性质(3)称为定积分对积分区间
的可加性，这个性质可以用图形直观地表示出来．
(2)定积分的性质的推广．
b
∫b∫b①∫bf2(x)±?±fn(x)]dx＝∫af1(x)dx±?±a[f1(x)±af2(x)dx±afn(x)dx；
b*
②∫baf(x)dx＝∫c1af(x)dx＋∫c2c1f(x)dx＋?＋∫cnf(x)dx(其中n∈N)．
【做一做3】 下列等式不成立的是( )
bb
A.∫ba[mf(x)＋ng(x)]dx＝m∫af(x)dx＋n∫ag(x)dx
b
B.∫ba[f(x)＋1]dx＝∫af(x)dx＋b－a
b
∫bC.∫baf(x)g(x)dx＝∫af(x)dx·ag(x)dx
02π
D.∫2π－2πsin xdx＝∫－2πsin xdx＋∫0sin xdx
nb－ab－ab
答案：1.?f(ξi)Δx＝? f(ξi) ∫af(x)dx＝lim ? f(ξi) 积分下限 积分上限
nnn??i＝1i＝1i＝1
n
n
积分区间 被积函数 积分变量 被积式
【做一做1】 A 根据定积分的概念可知，选项A正确，选项B，C，D都不正确，故选A.
2．f(x)≥0 直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 曲线y＝f(x) 思考讨论
提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方，如图所示． 由于Δxi＞0，f(ξi)＜0，故f(ξi)·Δxi＜0，从而定积分∫baf(x)dx＜0，这时它等于图中所示
b
曲边梯形面积的相反数，即∫baf(x)dx＝－S或S＝－∫af(x)dx.
2
x22x【做一做2】 ∫－4dx 由定积分的几何意义，可得S＝∫－4dx. 22
2
bb
3．(1)k∫baf(x)dx (2)∫af1(x)dx ∫af2(x)dx
b
(3)∫caf(x)dx ∫cf(x)dx
【做一做3】 C 利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．
1111213
∫∫例如∫1xdx＝，xdx＝，xdx＝. 000234
312
∫1但∫10xdx≠∫0xdx·0xdx.故选C.
1．如何正确认识定积分的概念？
剖析：(1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，
bb
而与积分变量用什么字母表示无关，即∫baf(x)dx＝∫af(u)du＝∫af(t)dt＝?(称为积分形式的不变性)，另外定积分∫baf(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得的值可能
232
也不同，例如∫10(x＋1)dx与∫0(x＋1)dx的值就不同．
b∫(2)定积分就是和的极限lim f(ξ)·Δx，而f(x)dx只是这种极限的一种记号． ?ia→∞
n
i＝1
n
(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的
存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
2．如何理解定积分的几何意义？
剖析：(1)当函数f(x)≥0时，定积分∫baf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
(2)当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时∫baf(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即∫baf(x)dx＝－S.
(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分∫b函数f(x)的图象及af(x)dx表示介于x轴、
直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．
如图所示，∫baf(x)dx＝A1－A2＋A3－A4(A1，A2，A3，A4表示各阴影部分的面积)．
bb(4)∫baf(x)dx，∫a|f(x)|dx，|∫af?x?dx|在几何意义上有不同的含义，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方，也可以在x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以∫b函数f(x)的曲线及直线x＝a，af(x)dx表示由x轴，x＝b(a≠b)围成的图形各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以∫ba|f(x)|dx表示在区间[a，
b
b]上以|f(x)|的图象为曲边的曲边梯形的面积；而|∫baf?x?dx|则是∫af(x)dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的．
注意：(1)∫baf(x)dx不一定表示面积，也可能是面积的相反数．
(2)定积分可以是面积，可以是体积，可以是功，可以是路程，还可以是压力，总之定积分还可表示更多的实际意义．
3．如何求奇、偶函数的定积分？ 剖析：若f(x)在[－a，a]上连续，则
a
(1)当f(x)是偶函数时，∫a－af(x)dx＝2∫0f(x)dx； (2)当f(x)是奇函数时，∫a－af(x)dx＝0.
题型一 利用定义计算定积分
2
【例题1】 利用定积分的定义，计算∫1(3x＋2)dx的值．
分析：将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．
反思：利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中，将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条理性更强．
题型二 利用几何直观计算定积分
【例题2】 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：
212(1)∫102dx；(2)∫1xdx；(3)∫－11－xdx.
分析：利用定积分的几何意义表示出相应图形，图形的面积即为定积分的值． 反思：利用定积分所表示的意义求∫baf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝
a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
题型三 利用定积分的性质求定积分 【例题3】 (1)计算∫39－x2－x3)dx的值； －3(
x，x∈[0，2?，
??4－x，x∈[2，3?，
(2)已知f(x)＝?
5x??2－2，x∈[3，5]，
求f(x)在区间[0,5]上的定积分．
分析：可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加
减运算．
反思：求定积分时应注意利用定积分的性质及几何意义． 题型四 利用定积分表示平面图形的面积
【例题4】 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.
分析：先准确作出函数的图象，再根据图象及几何意义进行表示． 反思：用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： ①准确画出各曲线围成的平面区域；
②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域； ③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； ④根据积分的性质写出结果．
答案：【例题1】 解：令f(x)＝3x＋2. (1)分割．
在区间[1,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间
?n＋i－1，n＋i?(i＝1,2，?，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋i－n＋i－1＝1.
nnnn??n
(2)近似代替、求和．
n＋i－1
取ξi＝(i＝1,2，?，n)，
n
nn＋i－1?3?n＋i－1??1n?3?i－1?5?3??则Sn＝?f·Δx＝? ＋2·＝?
n?n?ni＝1?n2＋n?＝n2[0＋1＋2＋?＋(ni＝1?i＝1?
n
2
3n－n133
－1)]＋5＝×2＋5＝－. 2n22n
(3)取极限．
?133?13. ∫21(3x＋2)dx＝lim Sn＝lim 2－2n＝?2n??n???
【例题2】 解：(1)∫102dx表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的
面积为2，所以∫102dx＝2.
(1) (2) (3)
3
(2)∫2xdx表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以∫211xdx23＝. 2
π
(3)∫11－x2dx表示的是图(3)中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为， －12π
所以∫11－x2dx＝. －1
2【例题3】 解：(1)如图，
由定积分的几何意义，得∫－3由定积分的性质，得 ∫39－x2－x3)dx －3(9π3＝∫39－x2dx－∫3. －3－3xdx＝2
3
π×329π33
9－xdx＝＝，∫－3xdx＝0. 22
2
(2)如图，由定积分的几何意义，得 1
∫20xdx＝×2×2＝2， 2
13∫3(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝， 2
221?5x?∫532－2dx＝×2×1＝1， ??2
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》知识讲解
